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Recherches sur les transcendantes de M. Painlevé et l’étude asymptotique des équations différentielles du second ordre. (French) JFM 44.0382.02
Painlevé hat bekanntlich die Typen der Differentialgleichungen zweiter Ordnung \(y'' = R(y', y, x)\) (\(R\) rational in \(y'\), algebraisch in \(y\) und analytisch in \(x\)) angegeben, deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen oder insbesondere eindeutige Funktionen sind; die von ihm aufgestellte Tabelle ist in einem wesentlichen Punkte von Gambier vervollständigt worden. Der erste Typus z.B. lautet \(y''= 6y^2-6x\); das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ist eine eindeutige Funktion von \(x\) und definiert eine wesentlich neue Transzendente. In der vorliegenden umfangreichen Arbeit beschäftigt Verf. sich eingehend mit diesen Transzendenten und kommt zu dem folgenden Resultat: Wenn man die Painlevéschen Transzendenten transformiert, indem man \(y = x^mY\) \(X = x^l\) setzt und die Exponenten \(m\), \(l\) in geeigneter Weise wählt, dann sind die so entstehenden Funktionen “asymptotisch” zu den doppeltperiodischen Funktionen, d. h. man kann die entfernten Gebiete der \(X\)-Ebene in Zellenbereiche teilen, in denen ein “Integralzweig” \(Y(X)\) jeden vorgegebenen Wert nur eine endliche (gegebene) Anzahl von Malen annimmt, und die sich bei hinlänglicher Entfernung Periodenparallelogrammen beliebig annähern. Die Painlevéschen Transzendenten verhalten sich daher zu den elliptischen Funktionen ähnlich wie die meromorphen Besselschen Funktionen zu den Kreisfunktionen. – Zum Zweck der Untersuchung führt Verf. in die von ihm betrachteten Painlevéschen Differentialgleichungen einen Parameter \(\mu\) ein, den er von 0 an variieren läßt, derart, daß die so gewonnenen allgemeineren Gleichungen für \(\mu = 0\) in die Differentialgleichung zweiter Ordnung der elliptischen Funktionen, für (\(\mu=1\) in die Painlevéschen Differentialgleichungen übergehen. Für die Entwicklungen im einzelnen, deren Wiedergabe auf dem hier zur Verfügung stehenden Raume unmöglich ist, muß auf die von der Pariser Akademie der Wissenschaften preisgekrönte Arbeit selber verwiesen werden.

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Full Text: DOI Numdam EuDML