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Mémoire sur le problème des trois corps. (French) JFM 43.0826.01
“In der vorliegenden Abhandlung erforschen wir zuerst den analytischen Charakter der Unbekannten in der Umgebung eines Zeitmomentes \(t_1\), wo zwei der Körper zusammenstoßen. Nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung definieren wir dann auf eindeutige Weise die Koordinaten der Körper für die reellen Werte von \(t\), die jenseit des Wertes \(t_1\) liegen, und wir erhalten so eine reelle Fortführung der Bewegung nach dem Stoße. Indem wir auf dieselbe Art die Bewegung jenseit jedes neuen Zusammenstoßes zwischen zweien der Körper fortführen, definieren wir die Koordinaten der Körper für immer größere Werte von \(t\). Nachdem wir festgestellt haben, daß die Werte der Zeit, für welche man so die Koordinaten definieren kann, eine endliche obere Grenze \(t\) nur dann zulassen können, wenn alle drei Abstände der Körper voneinander der Null zustreben, wenn \(t\) sich dem Werte \(\bar t\) nähert, zeigen wir, daß dieses letztere Geschehnis nur in dem Falle eintreten kann, wo die Konstanten der Flächen alle drei Null sind (ein Satz, den Weierstraß in einem Briefe an Mittag - Leffler vom 2. Februar 1889 ohne Beweis ausgesprochen hat. Gedruckt in Acta Math. 35, 55-58,1911). Hieraus geht schließlich hervor, daß die Koordinaten der Körper auf eindeutige Weise für alle Werte von \(t\) zwischen \(-\infty \) und \(+\infty \) definiert werden können, mit Ausnahme jenes speziellen Falles.
Im Verlaufe unserer Untersuchungen beweisen wir dann den interessanten Satz: Wenn die Konstanten der Flächen nicht alle drei Null sind, kann man bei gegebenen Anfangsbedingungen eine positive Grenze angeben, unter welche die beiden größten Entfernungen zwischen den Körpern nicht hinabgehen. Indem wir uns auf dieses Ergebnis stützen, gelangen wir endlich zu dem folgenden Theorem, das das Hauptergebnis unserer Untersuchungen bildet: Wenn die Flächenkonstanten bei der Bewegung der drei Körper in bezug auf ihren gemeinsamen Schwerpunkt nicht alle Null sind, kann man eine solche Variable \(\tau \) finden, daß die Koordinaten der Körper, ihre gegenseitigen Entfernungen und die Zeit in konvergente Potenzreihen von \(\tau \) entwickelbar sind, welche die Bewegung für alle reellen Werte der Zeit darstellen, und zwar bei beliebigen Zusammenstößen, die zwischen den Körpern geschehen.” Diese überraschend einfache Lösung des Dreikörperproblems ist ein ragender Markstein in der mathematischen Forschung der Himmelsmechanik.

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References:
[1] Recherches sur le problème des trois corps, 1. c. tome 34, etNouvelles recherches sur le problème des trois corps, l. c. tome 35. · JFM 40.1017.07
[2] P. Painlevé,Leçons etc., professées à Stockholm, Paris 1897.
[3] T. Levi-Civita,Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi, Annali di Matematica, Ser. III, T. 9, 1903. · JFM 34.0769.01
[4] G. Bisconcini,Sur le problème des trois corps, Acta Mathematica, T. 30. · JFM 36.0773.03
[5] Au cours de la rédaction définitive de ce travail,M. Mittag-Leffler m’a fait part d’une lettre à lui adressée parWeierstrass et en date du 2 févr. 1889, oùWeierstrass dit avoir démontré que les constantes des aires doivent toutes être nulles pour que les trois corps puissent se choquer tous en un même point de l’espace. Cette lettre est publiée pages 55–58 du tome 35 de ce journal.
[6] Lagrange,Essai sur le problème des trois corps, Oeuvres t. VI, p. 240.
[7] Voir p. ex.Picard, Traité d’Analyse, t. II, Chap. XI.
[8] Le coefficient 14 est introduit pour simplifier certains coefficients dans la suite.
[9] Voir p. ex.P. Painlevé.Leçons etc., professées à Stockholm, Paris 1897. l. c. page 585.
[10] Recherches sur le problème des trois corps, page 26. · JFM 40.1017.07
[11] Les quantitésx 1,y 1,z 1,x’ 1,y’ 1,z’ 1 employées ici ne doivent pas être confondues avec les quantités du n I.
[12] Il faut observer que, dans le mouvement de nos corps idéaux que nous avons défini pour $$\(\backslash\)underset{\(\backslash\)raise0.3em\(\backslash\)hbox{$\(\backslash\)smash{\(\backslash\)scriptscriptstyle\(\backslash\)cdot}$}}{t}< \(\backslash\)bar t\( , les coordonnées de ces corps, et par suite aussi leurs distances et la quantitéR sont des fonctions continues det. De plus la dérivée \)\(\backslash\)frac{{dR\^2 }}{{dt}} = 2gr\(\backslash\)frac{{dr}}{{dt}} + 2h\(\backslash\)rho \(\backslash\)frac{{d\(\backslash\)rho }}{{dt}}\( reste continue aussi au voisinage d'un choc. Le fait que la dérivée seconde \)\(\backslash\)frac{{d\^2 R\^2 }}{{dt\^2 }}$$ devient infinie aux instants de choc n’a alors aucune influence sur le raisonnement du texte.
[13] Dans ce numéro nous désignerons exceptionnellement par \(r',\frac{{dr'}}{{dt}},\rho '{\mathbf{ }}et{\mathbf{ }}\frac{{dp'}}{{dt}}\) les valeurs de \(r,\frac{{dr}}{{dt}},\rho {\mathbf{ }}et{\mathbf{ }}\frac{{d\rho }}{{dt}}\) pourt=t’.
[14] Cette quantitéL ne doit pas être confondue avec la quantité définie par l’égalité (76).
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