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A determinant formula for the number of ways of coloring a map. (English) JFM 43.0574.02
Annals of Math. (2) 14, 42-46 (1912); Amer. Math. Soc. Bull. (2) 18, 489-490 (1912).
Es sei eine endliche Menge zweidimensionaler Gebiete gegeben, die eine einfach oder mehrfach zusammenhängende geschlossene Fläche ausmachen, so daß sie eine Landkarte bilden. Jedes dieser Gebiete kann als durch geschlossene Kurven begrenzt angenommen werden, gebildet durch eine endliche Anzahl stetiger Handlinien, die das Gebiet mit anderen Gebieten gemeinschaftlich hat. Die Enden dieser Linien, an denen drei oder mehr Gebiete zusammenstoßen, werden Ecken der Karte genannt. Ein Färben der Karte besteht darin, jedem Gebiete eine Farbe zu erteilen, die von der jedes Gebietes verschieden ist, welches mit ihm eine Randlinie gemeinschaftlich hat, aber nicht von der eines Gebietes notwendig verschieden ist, welches in einer Ecke mit ihm zusammenstößt. Es wird gezeigt: Die Anzahl der Arten, die gegebene Karte in \(\lambda\) Farben auszumalen (\(\lambda=1,2,\ldots\)) wird durch ein Polynom \(P(\lambda\)) vom \(n\)-ten Grade gegeben, wo \(n\) die Anzahl der Gebiete der Karte ist.

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