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Sur les équations du calcul des variations. (French) JFM 43.0460.01
Diese Arbeit bringt eine ausführlichere (wenn auch immer noch etwas knappe) Begründung der weitreichenden, vom Verf. schon früher in den C. R. veröffentlichten Resultate über die Existenz von Lösungen von Variationsproblemen (s. F. d. M. 41, 440 (JFM 41.0440.*), 1910). Zunächst wird eine Reihe von Sätzen über gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung bewiesen: Gilt für die rechte Seite von: \[ y'' = f(x,y,y') \tag{1} \] die Ungleichung \(|f(x,y,y')|< Ay'{}^2 + B\) (die Gleichung (1) wird dann als eine Gleichung \((L)\) bezeichnet), so ist für jede geschränkte Lösung von (1) auch die erste Ableitung \(y'\) geschränkt. Dies gilt nicht, wenn \(f\) in \(y'\) von höherer als zweiter Ordnung unendlich ist, und dann ist auch für (1) die Randwertaufgabe (eine Lösung durch zwei gegebene Punkte) nicht allgemein lösbar. Ist für eine Gleichung \((L)\): \(f_y'>k>0\), so ist die Randwertaufgabe immer eindeutig lösbar. Eine Gleichung \((L)\) heiße “regulär”, wenn alle, zwei Punkte eines geschränkten Bereiches verbindenden Lösungen gleichmäßig geschränkt sind. Ist für eine reguläre Gleichung \((L)\) ein Punkt \(A\) und ein Gebiet \(\omega\) gegeben, so zerfällt \(\omega\) in eine endliche Anzahl durch Kurven getrennter Teilgebiete \(\omega_i\) derart, daß von \(A\) nach jedem Punkt von \(\omega_i\) gleichviele, und zwar eine ungerade Anzahl von Lösungen führen. – Die Eulersche Gleichung des regulären Variationsproblems \( \int F(x,y,y')\,dx\) \((F_{y'{}^2}^{\prime\prime}>0\)) ist eine Gleichung \((L)\), wenn \(F\) für große \(|y'|\) die Form hat: \(F=|y'|^\alpha(A(x,y)+\varepsilon)\) (\(\varepsilon\) geht gegen 0 wenn \(|y'|\) gegen \(\infty\) geht), vorausgesetzt, daß \(\alpha > 1\). Ist ferner \(F_y'\) nach unten geschränkt für \(y>0\), nach oben geschränkt für \(y<0\), so ist die Eulersche Gleichung auch regulär, so daß der oben angeführte Satz angewandt werden kann. Ebenfalls ist die Eulersche Gleichung eine reguläre Gleichung \((L)\), wenn \(F=\varphi(x,y')-\psi(x,y)\) und die Ordnung des Unendlichgroßwerdens von \(\varphi\) bezüglich \(y'\) größer als 1 und größer als die von \(\psi\) bezüglich \(y\) ist. Ist bekannt, daß es zwischen zwei gegebenen Punkten höchstens eine Extremale gibt, und ist \(F>k| y'|-\beta(x)\), wo \(\beta\) für geschränktes \(x\) geschränkt ist, so gibt es durch zwei gegebene Punkte stets eine Extremale dann und nur dann, wenn die Eulersche Gleichung eine Gleichung \((L)\) ist. – Ähnliches gilt für Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Hier ist von besonderem Interesse die Anwendung auf das Hamiltonsche Integral \( \int (T + H)\,dx\), wo \(T\) die lebendige Kraft, \(H\) die Kräftefunktion. Gelten für \(|y_i|<M\) die Ungleichungen: \(|H_{y_i}'|<K\cdot M^\lambda+K'\) (\(K\), \(K'\) Konstanten, \(\lambda<1\)), so sind die Bewegungsgleichungen reguläre Gleichungen \((L)\), sodaß es von einer gegebenen Anfangslage in eine gegebene Endlage in gegebener Zeit mindestens eine Bewegung gibt. Sich dem Studium der partiellen Differentialgleichung vom elliptischen Typus: \[ A(p,y,x,y)r+2B(p,q,x,y)s+C(p,q,x,y)t=D(p,q,x,y,z) \tag{2} \] zuwendend, gibt der Verf. Ergänzungen zu seinen in Math. Ann. 69 veröffentlichten Untersuchungen (F. d. M. 41, 427 (JFM 41.0427.*), 1910). Es werden die beiden Ausdrücke: \[ E=Ap^2+2Bpq+Cq^2, \quad J=(A+C) (p^2+q^2) \] betrachtet; die (niemals negative) Differenz der Ordnungen des Unendlichgroßwerdens von \(J\) und \(E\) bei unendlich wachsenden \(|p|\) und \(|q|\) wird als das “Geschlecht” von (2) bezeichnet, und (2) heißt eine Gleichung \((L)\), wenn für geschränktes \(x\), \(y\), \(z\) der Quotient \(\dfrac{|D|}E\) geschränkt bleibt. Ist (2) eine Gleichung \((L)\), und ist \(D \geqq 0\), so bleibt für jede auf einer geschlossenen konvexen Kurve \(C\) verschwindende, im Innern von \(C\) geschränkte Lösung von (2) innerhalb \(C\) auch \(p^2 +q^2\) unter einer endlichen Schranke. Nach früheren Resultaten des Verfassers folgt daraus: ist (2) eine Gleichung \((L)\), und bleibt \(D_z'\) oberhalb einer positiven Schranke, so ist für jede geschlossene konvexe Kurve \(C\) das Dirichletsche Problem lösbar; ist nur \(D_z'\geqq 0\) erfüllt, so ist das Dirichletsche Problem für jede geschlossene konvexe Kurve \(C\), für welche es bei irgendwelchen speziellen Randwerten lösbar ist, auch bei beliebigen Randwerten lösbar. Die Übertragung auf nichtkonvexe \(C\) gelingt, wenn das Geschlecht von \((L)\) nicht größer als 1 ist; ist aber unmöglich, wenn das Geschlecht (wie z. B. für die Gleichung der Minimalflächen) = 2 ist. Ist (2) keine Gleichung \((L)\), so ist im allgemeinen das Dirichletsche Problem nicht einmal für alle konvexen \(C\) möglich. – Es folgen Anwendungen auf reguläre Variationsprobleme für Doppelintegrale: \( \iint f(x,y,z,p,q)\,dx\,dy\) \((f_{p^2}^{\prime\prime}f_{q^2}^{\prime\prime}-(f_{pq}^{\prime\prime})^2>0\)). Der Integrand habe die Form \(f(x,y,z,p,q)=f_\alpha(x,y,z,p,q)+f_{\alpha_1}(x,y,z,p,q) + \cdots \), wo \(f_{\alpha_i}\) in bezug auf \(p\), \(q\) homogen von der Ordnung \(\alpha_i\) und \(\alpha >\alpha_1> \cdots \) sei. Ist \(\alpha>1\), so wird die Lagrangesche Gleichung eine Gleichung \((L)\) und vom Geschlechte 0. Hat \(f\) die Gestalt: \(F(x,y,p,q) + \varphi(x,y,z)\), und ist die Ordnung des Anwachsens von \(F\) bezüglich \(p\), \(q\) größer als 1, hat ferner \(\varphi_{z^2}^{\prime\prime}\) eine positive untere Schranke, so werden die über die Gleichung (2) abgeleiteten Sätze anwendbar, das Dirichletsche Problem ist also für beliebige (konvexe oder nicht konvexe) Randkurven lösbar. Es gilt dies auch noch, wenn nur \(\varphi_{z^2}^{\prime\prime}<0\). Für den Fall, daß die Ordnung \(\alpha\) des Anwachsens von \(f\) gerade =1 ist, wird an Beispielen gezeigt, daß die Lagrangesche Gleichung sowohl eine Gleichung \((L)\) sein kann, als auch nicht. Es folgen noch einige Bemerkungen über den Fall, daß der Integrand nicht die zuletzt betrachtete spezielle Form und daher auch die Lagrangesche Gleichung nicht die Form (2) hat.

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