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Sur les propriétés de l’intégrale de M. Denjoy. (French) JFM 43.0360.03

Es möge \(F(x)\) eine in \((a, b)\) stetige Funktion, \(P\) eine auf \((a, b)\) gegebene perfekte Punktmenge bezeichnen. Es sei ferner \(\varDelta_i (i = 1, \dots, N)\) eine Anzahl einander nicht überdeckender Intervalle, so daß jeder Punkt von \(P\) in einem der Intervalle \(\varDelta_i\), (die Grenzen eingeschlossen) enthalten ist, während zugleich in jedem \(\varDelta_i\) mindestens ein Punkt von \(P\) liegt.
Es sei \[ v = \sum_i^{1, \dots, N} (M_i - m_i), \quad M_i = \text{Max}\, F(x) \text{ in } \varDelta_i, \quad m_i = \text{Min}\, F(x) \text{ in } \varDelta_i. \] Ist \(v < K\), unter \(K\) eine Konstante verstanden, wie auch die Intervalle \(\varDelta_i\) (\(i = 1, \dots, N\)) beschaffen seien, so heißt \(F(x)\) in \(P\) von beschränkter Schwankung. \(F(x)\) ist in \((a, b)\) von beschränkter Schwankung in weiterem Sinne (fonction à variation bornée généralisée), wenn jeder perfekten Menge \(P\) in \((a, b)\) ein Intervall \(\varDelta\) zugeordnet werden kann, so daß die zu \(P\) und \(\varDelta\) gehörigen Punkte wieder eine perfekte Menge \(P_{\varDelta}\) bilden, während \(F(x)\) in \(P_{\varDelta}\) von beschränkter Schwankung ist.
Jedes unbestimmte Integral von Denjoy ist eine Funktion von beschränkter Schwankung in weiterem Sinne. Der Verf. gibt ferner eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Funktion von beschränkter Schwankung in weiterem Sinne ein unbestimmtes Denjoysches Integral ihrer Ableitung sei.

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