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Calcul de la primitive de la fonction dérivée la plus générale. (French) JFM 43.0360.02

Eine in \((a, b)\) beschränkte Funktion \(f(x)\) ist im Riemannschen Sinne integrierbar, wenn ihre etwaigen Unstetigkeitspunkte eine Menge vom Maße Null bilden. Eine in \((a, b)\) erklärte, nicht notwendig beschränkte Funktion \(f(x)\) ist daselbst im Sinne von Lebesgue integrierbar, wenn sie meßbar und summierbar (sommable) ist. Die Funktion \( F(x) = \int_a^x f(x)\, dx\) ist in beiden Fällen stetig; außer höchstens in einer Menge von Punkten vom Maße Null ist ferner \(\dfrac{dF(x)}{dx} = f(x)\). Nun gibt es aber Funktionen \(\varphi(x)\), die zwar die Ableitung einer anderen Funktion \(\varPhi(x)\) darstellen, \(\varphi(x) = \dfrac{d\varPhi(x)}{dx}\), jedoch weder im Riemannschen, noch im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind.
Der Verf. gibt ein Verfahren an, welches in allen Fällen gestattet, von \(\dfrac{d\varPhi(x)}{dx}\) zu \(\varPhi(x)\) hinaufzusteigen, sofern \(\dfrac{d\varPhi(x)}{dx}\) endlich (jedoch nicht notwendig beschränkt) ist, und welches bei Funktionen, die im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind, das Lebesguesche Integral liefert und daher eine Verallgemeinerung der Lebesgueschen Integration darstellt. Wegen der Einzelheiten muß auf die Originalarbeiten verwiesen werden.

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