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Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. (German) JFM 43.0204.09
Verf. hat in zwei früheren Arbeiten [G. Frobenius, Berl. Ber. 1908, 471–476 (1908; JFM 39.0213.03); Berl. Ber. 1909, 514–518 (1909; JFM 40.0202.02)] die Eigenschaften der Matrizen mit positiven Elementen entwickelt und zugleich durch Grenzbetrachtungen auf Matrizen mit nicht negativen Elementen übertragen. Diese Matrizen erfordern jedoch gesonderte und eingehendste Untersuchungen. Verf. stellt eine Reihe von Sätzen über derartige zerlegbare und unzerlegbare Matrizen auf. Dabei wird im wesentlichen die Theorie der nicht negativen Matrizen auf den besonderen Fall zurückgeführt, in dem die Matrizen unzerlegbar sind. Diese unzerlegbaren nicht negativen Matrizen haben im wesentlichen gleiche Eigenschaften wie die positiven. Nur braucht die Maximalwurzel \(r\) ihrer charakteristischen Gleichung \(\varphi(s)=0\) nicht größer zu sein als jede andere Wurzel, sondern kann auch einigen derselben gleich sein (dem absoluten Werte nach). Sind \(r'\), \(r''\), …diese anderen Wurzeln, die absolut genommen gleich \(r\) sind, so genügen die \(k\) Zahlen 1, \(\dfrac {r'}r\), \(\dfrac{r''}r\), …sämtlich der Gleichung \(x^k=1\). Dabei ist jede der \(k\) Wurzeln \(r\), \(r'\), …, \(r^{(k-1)}\) eine einfache Wurzel der Gleichung \(\varphi(s)= 0\). – Ist nun \(k=1\), so heißt die Matrix \(A\) primitiv, im Falle \(k=1\) dagegen imprimitiv. Jede Potenz einer primitiven Matrix \(A\) ist wieder primitiv, und es gibt zu jeder solchen primitiven Matrix \(A\) stets eine ganze Zahl \(M\), so daß \(A^m\) für jedes \(m\geqq M\) positiv ist. – Ist dagegen \(A\) imprimitiv, so wird die vollständige Zerfällung von \(A^m\) genau charakterisiert. Als Frucht der Untersuchungen über zerlegbare Matrizen werde folgender schöne Determinantensatz erwähnt. Die Elemente einer Determinante \(n\)-ten Grades seien \(n^2\) unabhängige Veränderliche. Man setze einige derselben Null, doch so, daß die Determinante nicht identisch verschwindet. Dann bleibt sie eine irreduzible Funktion, außer wenn für einen Wert \(m<n\) alle Elemente verschwinden, die \(m\) Zeilen mit \((n-m)\) Spalten gemeinsam haben.

MSC:
15B48 Positive matrices and their generalizations; cones of matrices
15A15 Determinants, permanents, traces, other special matrix functions
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