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Über Potenzreihen mit positivem, reellem Teil im Einheitskreis. (German) JFM 42.0438.02
Leipz. Ber. 63, 501-511 (1911).
Die von Carathéodory Toeplitz u. a. behandelte Frage nach den Bedingungen für die Koeffizienten einer Potenzreihe \(\frac {1}{2}c_0+c_1 z+c_2 z^2+\cdots\) unter denen ihr reeller Teil \(\varOmega(r, \vartheta)\) im Einheitskreise positiv bleibt, und ihr Zusammenhang mit dem Stieltjesschen Momentenproblem wird von neuem auf einfache Weise behandelt.
In der Einleitung ist die bisherige Literatur dieser Frage zusammengestellt; im ersten Paragraphen wird gezeigt, daß die verlangten Bedingungen identisch sind mit denen, unter welchen die Hermiteschen Formen der \(n\) Veränderlichen \(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}\) \((n=1, 2, \dots\)) \[ \begin{split} \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\varOmega(r, \vartheta)\,|x_0+x_1z+x_2 z^2+\cdots+x_{n-1}z^{n-1}|\,d \vartheta \\ =\sum_0^{n=1}{}^\mu c_{\mu-\nu} x_\nu \overline{x}_\mu r^{\nu+\mu+|\nu-\mu|}\end{split} \] definit sind. Im zweiten Paragraphen wird dann bewiesen, daß hierzu notwendig und hinreichend ist, daß die Determinanten \[ \begin{vmatrix} c_0 & \overline{c}_1 & \overline{c}_2 & \cdots \overline{c}_{n-1} \\ c_1 & c_0 & \overline{c}_1 & \cdots \overline{c}_{n-2} \\ c_{n-1} & c_{n-2} & c_{n-3} & \cdots c_0 \end{vmatrix} \geqq 0, \] sind. Im dritten Paragraphen wird endlich gezeigt, daß die gleichen Bedingungen notwendig und hinreichend sind, damit zu den gegebenen \(c_\nu\) eine abnehmende Funktion \(\mu(\vartheta)\) gefunden werden kann, für welche (die Integrale im Stieltjesschen Sinne verstanden) \[ c_\nu=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{-i \nu \vartheta} d \mu (\vartheta),\quad \overline{c}_\nu=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{i\nu \vartheta}d \mu(\vartheta)\quad (\nu=0, 1, 2, \dots) \] wird.