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Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl. (German) JFM 42.0416.02
Seit G. Cantor gezeigt hat, daß es möglich ist, zwei Mannigfaltigkeiten von verschiedener Dimensionszahl eineindeutig aufeinander abzubilden, ist von verschiedenen Seiten der Beweis versucht worden, daß dies unter der Annahme eineindeutiger und stetiger Abbildung nicht mehr möglich ist. Lüroth hat in Math. Ann. 63, 222-238 (F. d. M. 37, 445, 1906) diesen Beweis für Dimensionszahlen \(\leqq 3\) erbracht, Brouwer gibt hier den ersten allgemeinen Beweis für diesen fundamentalen Satz.
Zuerst wird der Hülfssatz bewiesen: Wenn in einem \(q\)-dimensionalen Raume bei einer eineindeutigen und stetigen Abbildung eines \(q\)-dimensionalen Würfels das Maximum der Verrückungen kleiner ist als die halbe Kantenlänge, so existiert ein konzentrischer und homothetischer Würfel, der ganz in der Bildmenge liegt.
Die wichtigsten Beweishülfsmittel sind: Die simpliziale Zerlegung der Mannigfaltigkeiten, d. h. ihre Zerlegung in Simplexe, die als Verallgemeinerung der Triangulation eines ebenen Flächenstücks anzusehen ist. Dann die Approximation einer vorgelegten eindeutigen und stetigen Abbildung durch simpliziale Abbildungen, die dadurch entsteht, daß man die Eckpunkte der Simplexe der Zerlegung in der vorgeschriebenen Weise abbildet, während das Innere jedes Simplexes mittels der durch die Zuordnung seiner Eckpunkte bestimmten Affinität abgebildet wird. Endlich der Begriff des Abbildungsgrades, d. i. die Differenz aus der Anzahl der Bildsimplexe mit positiver “Indikatrix” und der Anzahl der Bildsimplexe mit negativer Indikatrix, die bei einer simplizialen Abbildung einen Bildpunkt überdecken.
Auf Grund des Hülfssatzes wird nun indirekt gezeigt: Satz 1. In einem \(m\)-dimensionalen Raum enthält das eineindeutige und stetige Abbild eines \(m\)-dimensionalen Bereiches in beliebiger Nähe eines beliebigen seiner Punkte einen Bereich. Daraus folgt weiter Satz 2: Eine \(m\)- dimensionale Mannigfaltigkeit kann nicht das eineindeutige und stetige Bild eines Bereiches von höherer Dimensionenzahl enthalten. Umgekehrt gilt Satz 3: In einer \(m\)- dimensionalen Mannigfaltigkeit ist das eineindeutige und stetige Abbild eines Bereiches von geringerer Dimensionenzahl nirgends dicht. In den Sätzen 2 und 3 liegt die Invarianz der Dimensionenzahl.

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References:
[1] Vgl. ?Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten?, Math. Annalen 63 S. 222-238. Hinsichtlich der Fehlschlüsse in den von Thomae, Netto und Cantor für den all-gemeinen Fall versuchten Beweisen vgl. E. Jürgens, ?Der Begriff dern-fachen stetigen Mannigfaltigkeit?, Jahresber. der Detuschen Math.-Ver. 71, S. 50-55, und A. Schoenflies, Bericht über die Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, Bd. II, S. 167. Über die Orientierung des Problems vgl. auch R. Baire, ?Sur la nonapplicabilité de deux continus àn etn+p dimensions?, Comptes Rendus 144, S. 318-321; Bull. des Sc. Math. (2), 31, S. 94-99, und M. Fréchet, ?Les dimensions d’un ensemble abstrait?, Math. Ann. 68, S. 145-168.
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