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Sui massimi e minimi assoluti del calcolo delle variazioni. (Italian) JFM 42.0400.01
Der Zweck dieser Arbeit ist, unter den Voraussetzungen \(F(x,y,x',y')>0\) und \(F_1(x,y,x',y')>0\) (\(F_1\) die bekannte Weierstraßsche Funktion) die Existenz eines absoluten Minimums unter allgemeineren Voraussetzungen herzuleiten, als es bisher geschah. Zunächst werden in eingehender Weise gewisse Verallgemeinerungen des Begriffes des Kurvenintegrales \(\int F(x,y,x',y')\,dt\) für beliebig stetige Kurven besprochen, und zwar eine Verallgemeinerung, die aus der von Hilbert vorgeschlagenen und von Osgood vereinfachten durch eine ganz geringfügige Abänderung entsteht, und die von Weierstraß eingeführte. Sie liefern bekanntlich einen endlichen Wert \(I\) für das über eine stetige Kurve erstreckte Integral dann und nur dann, wenn diese Kurve rektifizierbar ist; es wird gezeigt, daß dieser Wert mit dem im Lebesgueschen Sinne zu verstehenden Integrale \(\int F\left(x,y,\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)\,ds\) (\(s\) die Bogenlänge; diese Lebesguesche Integral hat einen Sinn, da \(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\), abgesehen von einer Nullmenge, existieren und nicht beide verschwinden) völlig übereinstimmt; für andere Wahl des Parameters \(t\) kann aber das Lebesguesche Integral \(\int F(x,y,x',y')\,dt\) auch einen andern, und zwar kleineren, Wert haben; es ist \(\int F(x,y,x',y')\,dt=I\) dann und nur dann, wenn sowohl \(x\) als \(y\) absolut stetige Funktionen von \(t\) sind. Unter dem über eine Kurve erstreckten Integrale wird nun immer der Wert \(I\) verstanden. Nachdem noch gezeigt ist, daß für eine Folge von Kurven \(C_n\), die die Integralwerte \(I_n\) liefern und eine Grenzkurve \(C\) haben, der Integralwert \(I\), den diese Grenzkurve ergibt, nicht größer als die untere Grenze der Werte \(I_n\) sein kann (d. h. daß das Integral, als Kurvenfunktion betrachtet, unterhalb stetig ist), gelingt leicht in der gewohnten Weise der Nachweis des Satzes: Ist \(K\) eine Klasse rektifizierbarer Kurven eines geschränkten abgeschlossenen Bereiches, derart, daß jede rektifizierbare Grenzkurve von \(K\) selbst zu \(K\) gehört, so gibt es unter allen Kurven von \(K\) mindestens eine, die das Integral zu einem absoluten (möglicherweise uneigentlichen) Minimum macht gegenüber allen Kurven von \(K\). Als Beispiele dienen die Fälle, daß Anfangs – und Endpunkt einer Kurve je einer gegebenen, abgeschlossenen Punktmenge angehören, und der Fall geschlossener Kurven, die die Punkte einer gegebenen abgeschlossenen Menge enthalten oder umschließen. Die Arbeit schließt mit einer Verallgemeinerung auf die ganze unendliche Ebene und auf singularitätenfreie Flächenstücke.

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References:
[1] H. Lebesgue,Intègral, Longueur, Aire [Annali di Matematica pura ed applicata, serie III, tomo VII (1902), pp. 231–359].
[2] Sc il campo fosse connesso, basterebbe porreF= o.
[3] Nel secondo caso, i punti dell–insieme considerato devono pensarsi come facenti parte del contorno diA 0.
[4] Questa proposizione si può anche ottenere coi soliti metodi del Calcolo delle Variazioni.
[5] L. Tonelli,Sugli integrali curvilinei [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XX, · JFM 42.0318.02
[6] Avvertiamo, una volta per tutte, che nel presente lavoro consideriamo sempre variabili e funzioni reali; le seconde poi sempre ad un valore.
[7] Non necessariamente limitata, perchè il campoB non è chiuso.
[8] Denominazione diBolza, loc. cit.8).
[9] Geometricamente parlando, chiameremocurva ordinaria quella che ha, in ogni suo punto, tangente variabile in modo continuo.
[10] Quix’,y’ indicano le derivate dix(s), y(s).
[11] Si suppone cioè chex (t),y (t) siano funzioni continue.
[12] Con ciònon si suppone che i punti della curva siano puntiinterni adA 0.
[13] Cfr.BoLZA, loe. cit.8), pag. 250.
[14] Vedi:H. Lebesgue,Leçons sur ľintègration et la recherche des fonctions primitive (Paris, Gauthier-Villars, 1904), pp. 54, 55, 60, 62, 125. Il ragionamento seguente è appunto calcato su quello delLebesgue delle pagine 54 e 55.
[15] Denominazione diBaire.
[16] P a è il punto della curva ß che corrisponde al punto \(\alpha\) di (t(0), f(1)).
[17] E+E’ è un insieme chiuso e non denso, perla riducibilità diE; talchè esiste sempre, internamente a(t’,t”), un intervallo di \(\Delta\).
[18] G. A. Bliss,An existence theorem for a differential equation of the second order, with an application to the calculus of variations [[ransactions of the American Mathematical Society, vol. V (1904), pp. 113–125]. – Vedi anche:Bolza, loe. cit.8, pp. 146-148. · JFM 35.0340.01 · doi:10.1090/S0002-9947-1904-1500665-1
[19] Cfr.Bolza, loc. cit.8), pp. 160, 161.
[20] Cfr.Lçbesgue, loe. cit.20), pag. 6o.
[21] É solo non decrescente se-le funzioni che definiscono la ß sonp ambedue costanti in uno
[22] Ciò è stato dimostrato dalLebesgue, loe. cit.20, pag. 126 e seguenti.
[23] H. Lebesgue,Sur les fonctions reprisentàbles analytique ment [Journal de Mathèmatiques pures et appliquèes, VIe sèrie, tome I (1905), pp. 139–216].
[24] Lebesgue, loe. cit.30), pag. 128.
[25] Lebesgue, loc. cit.20), pag. 124.
[26] Cfr.L. Tonelli, loc. cit.6).
[27] Come risulta dal primo teorema della media, applicato alľintegrale I(i), e ricordando (n\(\deg\) 17) che, ad eccezione delľinsieme di misura nullaE, è o <F<M.
[28] LeBESGUE, IOC. Cit.20), pp. 128–I29.
[29] G. Vitali,Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali [[tti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XLIII (1907-1908), pp. 229–246], cap. II, § 2.
[30] Cfr.L. tonelli, loc. cit.6).
[31] G. Vitali,Sulle funzioni integrali [[tti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XL (1904-1905), pp. 1021–1034].
[32] G. Vitali, loe. cit.36),Cap. II, § 2.
[33] L. Tonelli,Sulla rettificazione delle curve [[tti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. XLIII (1907-1908), pp. 783–800].
[34] H. Lebesgue,Sur les intègrales singulières [Annales de la Facultè des Sciences de ľUniversitè de Toulouse, IIIe sèrie, tome I (1909), pp. 25–117].
[35] Lebesgue, loc. cit.20), pp. 122–123.
[36] Cfr.: a)G. Vitali, loc. cit.38);b) H. Lebesgue, loc. cit.20), pag. 129, nota; cH. Lebesgue,Sur la recherche des fonctions primitives par ľintègration [[endiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XVI, I\(\deg\) semestre 1907, pp. 285–290].
[37] L. T0NELLI, loc. cit.6).
[38] Lebesgue, loe. cit.1); loe. cit.20).
[39] Porremo Zr/1 = o, perr = o.
[40] Nel caso delľintegrale fF(x, y)ds [vediLebesgue, loc. cit.1), n\(\deg\) 83], la disuguaglianza scende subito dalla continuità dellaF(x, y).
[41] Sugli insiemi di curve, vedi:M. Frèchet,Sur quelques points du Calcul fonctionnel [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXII (2\(\deg\) semestre 1906), pp. 1–74].
[42] Se, per es., laK fosse costituita di tutte le curve continue, rettificabili, passanti per i punti (o, o), (o, i), e di lunghezza maggiore di uno e minore di due, la classe non sarebbe chiusa, perchè il segmento rettilineo determinato dai punti detti non le apparterrebbe, pur essendo ente limite di curve della classe stessa. LaK diventerebbe chiusa qualora le lunghezze delle sue curve potessero diventare uguali ad i e a 2. Quando poi la classe è chiusa rispetto a certe condiziöni C, non tutte le curve limiti di curve della classe appartengono ad essa, perchè questi enti limiti potrebbero non risultare rettificabili.
[43] Se le curve di (35) fossero, da un certo punto in poi, tutte uguali, ľesistenza del minimo sarebbe già dimostrata.
[44] La proposizione dice: “ Una varietà di curve rettificabili contenute in un campo finito, e tale “che le loro lunghezze siano tutte inferiori ad un numero fisso, ammette almeno una curva limite\({}^o\). Un caso particolare di questo teorema è stato dimostrato da Hilbert [loc. cit.11), a)]; nella sua forma generale è stato poi stabilito dalLebesgue [loc. cit.1)].
[45] C. Arzelà,Sulle funzioni di linee [Memorie della R. Accademia delle Scienze delľIstituto di Bologna, sezione delle Scienze Fisiche e Matematiche, serie V, tomo V (1895), pp. 55–74].
[46] Potrà anche darsi che tutti i punti di ß siano interni diA 0, oppure tutti sul contorno.
[47] Cfr.Bolza, loc. cit.8), pp. 261–263.
[48] Ciò perchèC(P1, P2) non ha punti multipli.
[49] Vedi:J. K. Whitthemore, Lagrange’s Equation in the Calculus of Variations, and the Extension of a Theorem of Erdmann [[nnals of Mathematics, Series II, Vol. II (1901), pp. 130–136], p. 132.
[50] Vedi per questo problema:Hilbert, loc. cit.II),a).
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