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Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen. I. Teil: Theorie der \(L\)Formen. (German) JFM 42.0366.01
Die Begriffsbildungen und ein Teil der Sätze dieser Arbeit sind bereits anläßlich einer in den Gött. Nachr. erschienenen Voranzeige in diesen Fortschritten (38, 158 f., 1907) besprochen worden. Neu hinzugetreten ist die Analogie der als \(L\)-Formen bezeichneten Klasse von Bilinearformen unendlichvieler Veränderlichen mit den sog. Zyklanten, die in der Determinantentheorie eine Rolle spielen, ferner die Einordnung dieser und ähnlicher Begriffsbildungen in die Frobeniussche Theorie der Gruppenmatrix und der hyperkomplexen Zahlsysteme; sodann eine Anwendung auf die Theorie der Fourierschen Reihen, deren Resultat der Verf. schon an anderer Stelle (F. d. M. 41, 382, 1910) angegeben hatte, die er aber hier weit elementarer beweist. Endlich aber und in erster Reihe wird in §§6-8 das Ähnlichkeitsproblem, d. h. das Analogon zu dem Weierstraßschen Elementarteilerproblem für \(L\)-Formen von unendlichvielen Veränderlichen, aufgenommen und für \(L\)Formen mit einfachem (d. h. nicht in sich zurücklaufendem) Spektrum durch den Satz erledigt: zwei \(L\)-Formen sind dann und nur dann ähnlich, wenn sie das nämliche einfache Spektrum besitzen. Die Darstellung der Arbeit beschränkt sich übrigens der besseren Übersichtlichkeit halber auf “reguläre” \(L\)Formen, d. h. solche, deren zugehörige Laurentsche Reihe in einem den Einheitskreis in seinem Inneren enthaltenden Kreisring konvergiert.

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References:
[1] Vgl. Grundlagen § 8.
[2] Vgl. die letzte Anmerkung zu § 1.
[3] Vgl. § 7, Satz 12, Anmerkung.
[4] Sie ist sogar ”absolut-beschränkt” (vgl. Grundlagen § 5, 4. Bemerkung). In der Voranzeige in den Gött. Nachr. von 1907 war durchweg von absoluter Beschränktheit die Rede, und es wurde dafür unter Hinweis auf den Unterschied kurz der Name ”beschränkt” gebraucht. Die weitere Entwicklung der Theorie hat jedoch gezeigt, daß es zweckmäßiger ist, überall beschränkte, nicht absolut-beschränkte Formen zu betrachten.
[5] Vgl. Grundlagen § 6.
[6] Vgl. Grundlagen, Schluß von § 6.
[7] Grundlagen § 7.
[8] Der ganze Beweisgang ist dem allgemeinen Kriterium für das Vorhandensein einer beschränkten Reziproken (Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. der Kgl. Ges. der Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1907, S. 101–109) entnommen und nur gemäß den vorliegenden speziellen Verhältnissen vereinfacht.
[9] Vgl. Grundlagen § 3, Korollar zum 1. Faltungssatz.
[10] BeiL-Matrizen liegen bezüglich der Reziproken also nur die beiden der vier möglichen Fälle vor, die bei endlichen Matrizen vorkommen. Vgl. Grundlagen § 7, Ende.
[11] Es ist darin die Lösung der Aufgabe enthalten, die reziproke Funktion 1/f(z) einer in Laurentscher Entwicklung gegebenen Funktionf(z) selbst nach Laurent zu entwickeln: die Auflösungsformel meiner Note über die Jacobische Transformation (Gött. Nachr. 1907) oder die von E. Schmidt (Pal. Rend. 1908) ergeben diese Anflösung in Verbindung mit Satz 4 des Textes.
[12] Vgl. Grundlagen § 8.
[13] wie Hellinger in seiner Dissertation (Göttingen 1907) S. 76–77 hinzufügt.
[14] Dieser Satz findet sich explizit weder in den ”Grundlagen” noch anderwärts ausgesprochen; er ist zuerst in meiner Arbeit ”Die Jacobische Transformation...”, Gött. Nachr. 1907, enthalten, und die eine Hälfte von ihm (”wenn das Spektrum positiv ist, ist die Form definit”) läßt sich wohl nicht einfacher beweisen als mittels der dort angegebenen, von E. Hellinger herrührenden Methode, die übrigens auch am Schluß des Beweises von Satz 4 der vorliegenden Arbeit (§ 1) auseinandergesetzt worden ist. Die andere Hälfte des Satzes (”das Spektrum einer definiten Form ist positiv”) kann man durch einen Kunstgriff von E. Hilb sehr einfach beweisen, indem man sich der sog. Neumannschen Methode bedient. Ist nämlichC definit, so istCE für einen negativen Wert von \(\lambda\) nicht nur definit, sondern seine untere Grenze ist größer als |\(\lambda\)|, also >0, für alle Wertsystemex 1,x 2,..., deren Quadratsumme gleich 1 ist. Für eine solche Form beweist aber der Verf. (a. a. O. § 3) und Hilb (Ber. der phys.-med. Soc. in Erlangen, 40 (1908), S. 84; vgl. statt dessen etwa auch Fortschritte d. Math. 39, S. 407 f.), daß sie eine eindeutige beschränkte Reziproke besitzt, und folglich besitztCE eine solche für jedes negative \(\lambda\), d. h. das Spektrum vonC ist positiv.
[15] Der Fall, daß irgendwelche der Determinanten \(\Delta\) verschwinden, ist dabei zunächst ausgeschlossen Der Satz bleibt jedoch auch in diesem Falle richtig, und es bedarf lediglichalgebraischer Betrachtungen, um die hier gegebene Herleitung auch auf diesen Fall mit auszudehnen. Andererseits folgt der Satz in der vollständigen Gestalt auch aus der Arbeit von Carathéodory (Math. Ann. 64) und den Untersuchungen, die Herr Carathéodory neuerdings an diese Arbeit angeknüpft hat und die er soeben in den Pal. Circ. Mat. Rend. veröffentlicht. Vgl. über diesen Zusammenhang die eben genannte Arbeit und die in Verbindung mit ihr erscheinende kurze Note des Verf. in den Pal. Circ. Mat. Rend.
[16] Vgl. meine inzwischen erschienene Note ”Zur Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen”, Nachr. der Kgl. Ges. d. Wiss. zu Gött., math.-phys. Kl., 1910, §§ 4 und 5, insbesondere auch die Anmerkung zu Satz 11 daselbst.
[17] Vgl. auch. Grundlagen § 8, Satz von der Invarianz des Spektrums.
[18] Vgl. Grundlagen § 3.
[19] Dieser Satz in Verbindung mit der Auflösungsformel meiner Note über die Jacobische Transformation (Gött. Nachr. 1907) oder derjenigen von E. Schmidt (Rend. di Pal. 1908) enthält die Lösung der Aufgabe, die inverse Funktion von \(\omega\)(z) in eine Laurentreihe zu entwickeln. Auch kann man diese Methode auf Fourierreihen von monoton wachsenden und daher eindentig invertierbaren Funktionenf() übetragen, indem manz=cos+isin, \(\omega\)=cosf+isinf setzt.
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