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Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen. (German) JFM 41.0383.01
Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Theorie der linearen Gleichungen und linearen Transformationen in einem Funktionenraume und geht über die früheren Untersuchungen von Hilbert, E. Schmidt u. a. vorzugsweise in dem Punkte hinaus, daß sie an Stelle der quadratisch integrierbaren Funktionen, bzw. der Wertsysteme abzählbar unendlichvieler Veränderlichen mit konvergenter Quadratsumme die Klasse \([L^p] (p > 1)\) aller der Funktionen zugrunde legt, deren \(p\)-te Potenz in Lebesgueschem Sinne integrabel ist.
Nach einer Reihe von Hülfsbetrachtungen, die im wesentlichen die Übertragung der bekannten Begriffe und Sätze der Geometrie des Raumes der \([L^2]\) auf den der \([L^p]\) geben, wird ein System von abzählbar unendlichvielen Gleichungen \[ (1)\quad \int^b_a f_i(x)\xi (x)dx=c_i \quad (i=1,2,\dots ) \] für eine unbekannte Funktion \(\xi (x)\) aus \([L^p]\) untersucht, wobei die bekannten Funktionen \(f_i (x)\) der Klasse \([L^{\frac{p}{p-1}}]\) angehören (das garantiert hier die Existenz der Integrale) und die Konstanten \(c_i\) ohne Konvergenzeinschränkung gegeben sind. Notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit ist die Existenz einer Zahl \(M\), so daß für jedes System von \(n\) Zahlen \(\mu_1, \dots ,\mu_n\) die Ungleichung besteht: \[ (2)\quad| \sum^n_{i=1} \mu_ic_i|^{\frac{p}{p-1}} \leqq M^{\frac{p}{p-1}} \int^b_a| \sum^n_{i=1} \mu_if_i(x)|^{\frac{p}{p-1}}dx; \] diejenige Lösung der ersten \(n\) Gleichungen (1), für die \(\int^b_a| \xi (x)|^p dx\) möglichst klein ausfällt (und in der Grenze die entsprechende Lösung von (1)) drückt sich in einfachster Weise mit Hülfe der Werte \(\mu_i\) aus, für die die linke Seite von (2) bei konstanter rechter Seite ein Maximum wird.
Dieses Theorem wird insbesondere auf lineare beschränkte Funktionaltransformationen in \([L^p]\) angewandt, die jeder Funktion \(f (x)\) eine andere \(T[f(x)]\) derselben Klasse gemäß \[ T[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] = c_1T[f_1(x)]+c_2T[f_2(x)], \int^b_a | T[f(x)]|^p dx \leqq M^p_T \int^b_a | f(x)|^p dx \] zuordnen (wo \(M_T\) eine nur von der Transformation abhängige Konstante ist); ist \(T [f (x)]\) für jedes \(f (x)\) eine Konstante, so ist es mit Hülfe einer Funktion \(a(x)\) aus \([ L^{\frac{p}{p-1}}]\) als \(\int^b_a f (x) a (x) d (x)\) darstellbar. Weiterhin werden für die Auflösbaskeit der Funktionalgleichung \[ T[\xi(x)]=f(x), \] wo \(f(x)\) eine bestimmte Funktion aus \([L^p]\) ist oder auch ganz \([L^p]\) durchlaufen kann (Existenz einer Umkehrtransformation zu \(T\)), Kriterien aufgestellt, die (2) ganz analog sind. Den Schluß bilden – unter Beschränkung auf den Bereich \([L^2]\) – Anwendungen zur Herleitung der bekannten Theoreme über Integralgleichungen zweiter Art, vor allem solche mit vollstetigem symmetrischen Kerne und vom Volterraschen Typus.

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References:
[1] E. Fischer, ?Sur la convergence en moyenne?, Paris Comptes Rendus 13 mai 1907. F. Riesz, ?Sur les systèmes orthogonaux de fonctions?, C. R. 18 mars 1907. ?Über orthogonale Funktionensysteme?, Göttingen, Nachrichten 1907, S. 116-122.
[2] P. Fatou, ?Séries trigonométriques et séries de Taylor?, Acta Mathematica Bd. 30, S. 379. Bezüglich der früheren?weniger allgemeinen ? Beweise dieses ?Fundamentalsatzes der Fourierschen Konstanten? vgl. A. Hurwitz, ?Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Funktionen?. Mathematische Annalen Bd. 57, S. 425-446; Bd. 59, S. 553.
[3] Vgl. z. B. F. Riesz, ?Sur les systèmes orthogonaux de fonctions et l’équation de Fredholm?, Paris, Comptes Rendus, 8 avril 1907; ?Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables?, C. R. 24 juin 1907. M. Fréchet, ?Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires?, C. R. 24 juin 1907; ?Essai de géométrie analytique à une infinité de coordonnées?, Nouvelles Annales de Mathématiques, 1908, S. 91-116, 289-317. M. Plancherel, ?Notes sur les équations intégrales singulières?, Rivista di Fisica, Matematica e Scienze Naturali, 1909, S. 37-53; ?Über singuläre Integralgleichungen?, Mathematische Annalen Bd. 67, S. 515-518.
[4] E. Schmidt, ?Über die Auflösung linearer Gleichungen mit abzählbar unendlich vielen Unbekannten? Palermo, Rendiconti, t. XXV (1908), S. 53-77. · JFM 39.0401.01 · doi:10.1007/BF03029116
[5] Für den Fallp=2 ist Ungleichung (5) unter dem Namen Schwarzsche Ungleichung bekannt. Für diesen Fall folgt (6) aus (5) durch einfache Umformung. S. E. Fischer, ?Sur la convergence en moyenne?, l. cit. Paris Comptes Rendus 13 mai 1907.
[6] E. Landau, ?Über einen Konvergenzsatz?, l. cit. Göttingen, Nachrichten, 1907, S. 25-27, An Stelle der dort auftretenden Größena i ,x i , sind hiera i m i p-1/p resp.b i m i 1/p zu setzen.
[7] D. i. eine Funktion, die nur auf einer endlichen Anzahl von Strecken verschiedene Werte annimmt.
[8] E. Hellinger, ?Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlich vielen Variablen?. Dissertation, Göttingen 1907. · JFM 38.0153.01
[9] Auch E. Fischer (?Applications d’un théorème sur la convergence en moyenne?, l. cit.) Paris Comptes Rendus 13 mai 1907. gibt für den Fallp=2 Bedingungen an, die sich auf beliebigep>1 ausdehnen lassen. Ihre Begründung müßte jedoch gewisse Resultate voraussetzen, die wir erst später entwickeln werden, wobei wir uns eben auf das hier angegebene Kriterium stützen.
[10] H. Lebesgue, ?Leçons sur l’intégration etc.?, S. 128. Es würde auch schon die Heranziehung des weniger tief liegenden Satzes, nach welchemF (x) derivierte Funktionen besitzt, hinreichen.
[11] P. Fatou, ?Séries trigonométriques etc.?, l. cit., Paris, Comptes Rendus, 8 avril 1907; S. 375.
[12] Fürp=2 ?convergence en moyenne? bei E. Fischer ?Sur la convergence en moyenne?, l. cit. Paris Comptes Rendus 13 mai 1907.
[13] C. Arzelà, ?Sulle serie di funzioni?, Memorie d. R. Accad. d. Scienze di Bologna, sezione d. Sc. Fis. e Mat., serie 5, t. VIII (1899-1900), S. 3-58, 91-134.
[14] E. Fischer, ?Sur la convergence en moyenne?, l. cit. Paris Comptes Rendus 13 mai 1907.
[15] Vgl. F. Riesz, ?Sur les suites de fonctions mesurables?, l. cit., Paris Comptes Rendus, 8 avril 1907; wo derselbe Satz (auch für 0<p?1) auf andere Weise entwickelt wird. Die Notwendigkeit der Bedingung folgt (doch nur fürp>1) unmittelbar aus Ungleichung (6).
[16] H. Lebesgue, ?Sur la méthode de M. Goursat pour la résolution de l’équation de Fredholm,?, Bulletin de la Société Mathématique, t. 36 (1908), S. 11; ?Sur les intégrales singulières?, l. cit., S. 50.
[17] F. Riesz, ?Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables?, l. cit. Paris, Comptes Rendus, 8 avril 1907. An Stelle von (30) steht dort die scheinbar allgemeinere Voraussetzung, daßA f i gegenA f geht, wenn nurf i (x) stark gegenf(x) konvergiert. Man zeigt leicht für beliebigep, daß aus dieser Voraussetzung und aus der Distributivität auch (30) folgt. Vgl. das analoge Problem betreffend Linearformen abzählbar unendlich vieler Veränderlichen: E. Hellinger u. O. Toeplitz, ?Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen?, Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen 1906, S. 351-355; E. Landau, ?Über einen Konvergenzsatz?, l. cit.
[18] M. Fréchet, ?Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires?, l. cit. C. R. 24 juin 1907
[19] Den entsprechenden Satz für Substitutionen mit abzählbar unendlich vielen Veränderlichen hat im Fallep=2 O. Toeplitz entwickelt: ?Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlich vielen Veränderlichen?, Göttingen, Nachrichten, 1907, S. 101-109. Vgl. auch den äußerst einfachen Beweis von E. Hilb: ?Über die Auflösung von Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten?, Sitzungsberichte der Phys.-Med. Sozietät Erlangen 1908, S. 84-89.
[20] Unser Satz läßt sich auch leicht aus der Hilbertschen Normaldarstellung der beschränkten quadratischen Formen (?Grundzüge IV?; l. cit.), wie auch natürlich aus dem Toeplitzschen Kriterium mit Hilfe des Satzes über die Existenz von Funktionen mit vorgegebenen Fourier-Konstanten ableiten.
[21] D. Hilbert, ?Grundzüge etc.? 1. Mitteilung, Nachrichten d. Ges. d. Wiss. Göttingen 1904, S. 49-91.
[22] Diese Definition der Vollstetigkeit deckt sich mit der Hilbertschen (?Grundzüge IV?, l. cit.). Man zeigt nämlich leicht, daß eine Transformation in dem oben erläuterten Sinne dann und nur dann vollstetig ist, wenn die derselben bei Zugrundelegung irgend eines Orthogonalsystems entsprechende Bilinearform unendlich vieler Veränderlichen nach Hilberts Definition vollstetig ausfällt.
[23] Bezüglich des Zusammenhanges verwandter Variationsprobleme mit der homogenen Integralgleichung vgl. Hilbert, ?Grundzüge etc.? 1. Mitt., l. cit., Nachrichten d. Ges. d. Wiss. Göttingen 1904, S. 49-91., S. 78; 5. Mitt., Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen 1906, S. 460; E. Holmgren, ?Sur la théorie des équations intégrales linéaires?, Arkiv för Matematik, Bd. 3, Nr. 1 (1906); F. Riesz, ?A lineár homogén integrálegyenletröl?, Math. Termtt. Értesitö 1909, S. 220-240.
[24] Vgl. E. Hellinger, ?Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlich vielen Veränderlichen?, Habilitationsschrift, Marburg 1909, S. 51 [auch Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 136]. · JFM 40.0393.01
[25] Vgl. F. Riesz, ?Sur les systèmes orthogonaux de fonctions et l’équation de Fredholm?, l. cit. Paris, Comptes Rendus, 8 avirl 1907; · JFM 38.0420.05
[26] Vgl. meine Arbeit: ?Sur les suites de fonctions mesurables?, l. cit. Paris Comptes Rendus, 8 avril 1907, wo unter andern die in § 7 der vorliegenden Arbeit entwickelte Ausdehnung des Fischerschen Satzes durch eine Methode begründet wird, die unmittelbare Übertragung gestattet. Vgl. auch H. Weyl, ?Über die Konvergenz von Reihen etc.?, l. cit.
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