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Über gewöhnliche lineare Differentialgleichungen mit singulären Stellen und ihre Eigenfunktionen (2. Note). (German) JFM 41.0344.01
Es handelt sich um die aus einer linearen Schar linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung \[ \frac{d}{ds} \left( p(s)\,\frac{du}{ds} \right) +( \lambda k(s)-q(s))u =0 \] entspringenden Reihenentwicklungen und Integraldarstellungen, wenn beide Enden des betrachteten Intervalls der Variable \(s\) Singularitäten der Differentialgleichung (von wie kompliziertem Charakter auch immer) sind. Die Methode ist der vom Verf. in Math. Ann. 68, S. 220 ff. dargelegten analog (vgl. das vorangehende Referat). Jedes der beiden Enden kann vom “Grenzkreis-” oder “Grenzpunkt”-Typus sein: danach richtet es sich, ob für das betreffende Ende eine Randbedingung willkürlich vorgeschrieben werden kann oder nicht. Im höchstsingulären Fall, in dem beide Enden vom Grenzpunkt-Typus sind, erhält man z. B., wenn \(u_1 (s; \lambda), u_2 (s; \lambda )\) zwei unabhängige Lösungen der obigen Differentialgleichung bedeuten, die analytisch in \(\lambda\) sind, eine Darstellung der willkürlichen Funktion \(f (s)\) von der Form \[ f(s) = \sum_{\lambda} [u_1(s; \lambda )C_1(\lambda )+u_2(s; \lambda )C_2 (\lambda )] +\int_{\lambda} [u_1(s; \lambda ) d\Gamma_1 (\lambda)+u_2(s; \lambda ) d\Gamma_2 (\lambda )], \] wobei die Summation über das Punktspektrum, die Integration über das Streckenspektrum zu erstrecken ist und die Koeffizienten sich aus den “an das Lösungssystem \(u_1, u_2\) adaptierten Eigenfunktionen oder Eigendifferentialen” berechnen, deren Existenzbeweis den wesentlichen Teil der Überlegungen ausmacht. Ein analoges Resultat gilt im “polaren” Fall, wenn der Koeffizient \(k (s)\) nicht durchweg positives Vorzeichen hat. Als Beispiele, in denen Punkt- und Streckenspektrum samt den adaptierten Eigenfunktionen und Eigendifferentialen vollständig berechnet werden, sind besprochen:
1. das Integraltheorem der Besselschen Funktionen;
2. die Entwicklungen nach hypergeometrischen Funktionen, die hier vollständiger als bisher aufgestellt und denen analoge Integraldarstellungen durch solche Funktionen hinzugefügt werden;
3. der Fall, in welchem die zugrunde liegende Differentialgleichung asymptotisch für \(s= \pm \infty\) den gleichen Charakter besitzt wie die Gleichung \(\frac{d^2u}{ds^2} + \lambda u = 0\) (aus der das Fouriersche Integraltheorem entspringt);
4) eine Integraldarstellung der willkürlichen Funktion \(f (s)\) von der Form \[ f(s) = \int^{+\infty}_{-\infty} w(s+\lambda ) \int^{+\infty}_{-\infty} f(t)w(t+\lambda )dt d\lambda , \] in der die Grundfunktion \(w (x)\) sich durch Besselsche Funktionen vom Index \(\pm \frac{1}{3}\) ausdrückt.

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