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Les ensembles abstraits et le calcul fonctionnel. (French) JFM 41.0103.01
Diese Arbeit bildet gewissermaßen einen Anhang zur Abhandlung: Sur quelques points du calcul fonctionnel (Palermo Rend. 22, 1-74; F. d. M. 37, 348, 1906, JFM 37.0348.02). Hauptzwecke derselben sind: die Untersuchung der “kompakten” Mengen und derin kompakte Teilmengen zerlegbaren Mengen; die Ausdehnung auf gewisse Klassen von abstrakten Mengen des Cantor-Bendixsonschen Satzes von der Zerlegbarkeit jeder abgeschlossenen Menge in einen perfekten und in einen abzählbaren Bestandteil; die Behandlung der \(\infty\)-dimensionalen Mengen; die Beantwortung einiger Bemerkungen von A. Schoenflies (Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. II. Leipzig, Teubner; F. d. M. 39, 95, 1908, JFM 39.0095.16) über die oben angeführte Schrift.

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References:
[1] Ces Rendiconti, t. XXII (2e semestre 1906), pp. 1–74.
[2] Schoenflies,Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (II. Teil) (Leipzig, Teubner, 1908). Principalement pp. 278-295.Voir aussi pp. 83-87, 275-278.
[3] M. Schoenflies fait remarquer que ce mot n’est pas suffisamment significatif. Je le maintiens provisoirement en attendant un meilleur.
[4] J’ai démontré ce théorème dans ma Thèse [1. c. 1), page 27], sans supposer ľensemble compact, mais en admettant que la classe (E) estséparable (voir plus loin la définition de ce mot). Or nous donnerons (n\(\deg\) 23) un exemple important ďune classe non séparable et à laquelle peut ätre appliqué le théorème actuel.
[5] Voir, par exemple : Baire,Leçons sur les fonctions discontinues (Paris, Gauthier-Villars, 1905), chap. II.
[6] Dans cette démonstration, je suis, dans ses grandes lignes, la marche qu’indique M. Baire dans le cas particulier où la classe est un espace à n dimensions [Baire, loc. cit. 5), pp. 101-105]. Comme je lui avais fait remarquer que sa démonstration présentait une petite lacune (bas de la page 103),M. Baire a bien voulu la compléter par ľintroduction des ensembles H\(\alpha\) que je viens de définir.
[7] loc. cit. 1), n\(\deg\) 40, page 25.
[8] Voir ma Thése, loc. cit. 1), n\(\deg\) 45, page 27.
[9] Fréchet,Les dimensions ďun ensemble abstrait [Mathematische Annalen, t. LXVIII (1910), pp. 145–168]. · JFM 41.0102.03 · doi:10.1007/BF01474158
[10] loe. cit. 9). Une autre démonstration est aussi donnée plus loin [n\(\deg\) 25, note 11)].
[11] D’après le théorème du n\(\deg\) 12, nous avons ainsi une démonstration par ľabsurde du fait que (D) n’est pas séparable.
[12] Hilbert,Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen unabhängigen Variabeln [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXVII (1er semestre 1909), pp. 59–74], pp. 61, 67, 70. · JFM 40.0391.02 · doi:10.1007/BF03019645
[13] M. Hilbert supposait toujours cette somme égale à 1.
[14] Voir, par exemple:Fréchet,Essai de géométrie analytique à une infinité de coordonnées [Nouvelles Annales de Mathématiques, 4e série, t. VIII (1908), pp. 97–116, 289-317].
[15] Voir:H. Lebesgue,Leçons sur ľintégration et la recherche des fonctions primitives (Paris, Gauthier-Villars, 1904), p. 115.
[16] H. Lebesgue, loc. cit., p. 106.
[17] D’après la formule de Parseval étendue par M. Fatou aux fonctions de \(\Omega\)1.
[18] Voir ma Thèse, loc. cit. 1), p. 42.
[19] loc. cit. 1), p. 48.
[20] D’après un théorème de M. Mittag-Leffler.Voir, par exemple : Osgood,Lehrbuch der Funktionentheorie (Leipzig, Teubner, 1907).
[21] Voir ma Thése, loc. cit. 1), pp. 37, 29, 11.
[22] Hahn,Bemerkungen zu den Untersuchungen des Herrn M. Fréchet: “ Sur quelques points du Calcul fonctionnel ” [Monatshefte für Mathematik und Physik, XIX]. Jahrgang (1908), pp. 247–257]. · JFM 39.0398.01 · doi:10.1007/BF01736698
[23] M. Hahn a aussi signalé une faute ďécriture qui s’est glissée dans ma Thèse [loc. cit. 1)], page 19, ligne 8. Au lieu de “... et même pour une classe (L) quelconque ... ”, il faut lire “... et müme pour une classe (V) quelconque ...”. La suite de la démonstration montre ďailleurs bien que c’était une classe (V) que j’avais en vue. Il aurait pu se faire que lerésultat fût cependant correct pour le cas ďune classe (L) quelconque.M. Hahn a donné un exemple du contraire.
[24] D’ailleurs, au fond,M. Schoenflies est d’accord avec moi: la divergence consiste plutôt en une diffďrence de tendances.
[25] loc. cit. 2), page 86, ligne 8.
[26] loc. cit. 2), page 301.
[27] Et c’est pour éviter cette interprétation que j’en parle. MaisM. Schoenflies a bien voulu m’écrire qu’il entendait seulement faire allusion au fait qu’un ensemble borné n’a plus nécessairement un élément limite dans cet espace.
[28] Voir, par exemple:Frechet, loc. cit. 14), page 16.
[29] Baire,Sur h représentation des fonctions discontinues (Deuxième partie) [Acta Mathematica, t. XXXII (1909), pp. 97–176], page 134. · JFM 40.0443.03
[30] Et qui, ďaprès les définitions que j’ai données ailleurs [loc. cit. 9), pages 146 et 155], serait un espace ayant le plus grand des types de dimension inférieurs à ľunité.
[31] F. Riesz,Stetigkeilsbegriff und abstrakte Mengenlehre [Atti del IV\(\deg\) Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 1908), vol. II (1909), pp. 18–24].
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