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Les dimensions d’un ensemble abstrait. (French) JFM 41.0102.03
Nachdem der Verf. die in einer früheren Schrift (Une définition du nombre de dimensions d’un ensemble abstrait. C. R 148, 1152-1154; F. d. M. 40, 99, 1909, JFM 40.0099.03) entwickelten Betrachtungen wieder aufgenommen hat, untersucht er die Dimensionstypen, welche \(<1\) sind, insbesondere die Typen der abzählbaren Mengen; der größte Typus, welcher \(<1\) ist, stimmt mit dem Baireschen “0-dimensionalen Raume” überein (siehe R. Baire: Sur la représentation des fonctions discontinues. Acta Math. 32, 97-176; F. d. M. 40, 443, 1909, JFM 40.0443.03). Dann behandelt er die zwischen 1 und 2 liegenden und überhaupt die endlichen Typen; er weist auch die Existenz von unendlichen Typen nach.

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References:
[1] M. Fréchet, Sur quelques points du Calcul Fonctionnel, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo t. 22, fasc. I, 1906. Le mémoire actuel a été rédigé de façon que le lecteur náit pas besoin de recourir à ma Thèse.
[2] Suivant une dénomination employée par M. Hadamard.
[3] C’est la définition donnée par M. Baire dans son mémoire: Sur la représentation des fonctions discontinues, Acta Mathematica, t. 32, p. 136, définition limitée aux espaces àn dimensions, mais qui s’étend textuellement aux classes (L).
[4] Cf. pour le cas des puissances: Em. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Note I, p. 104.
[5] J’utilise ici un procédé indiqué bien souvent; par exemple, Borel, loc. cit., Em. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Note I, p. 18, 19. Le résultat actuel est d’ailleurs aussi une conséquence immédiate de la remarque de M. Baire d’après laquelleH n , est, quel que soitn, une image de son espaceG 0.
[6] R. Baire, Sur la représentation des fonctions discontinues, Acta Mathematica, 32, p. 134. · JFM 40.0443.03
[7] Loc. cit., R. Baire, Sur la représentation des fonctions discontinues, Acta Mathematica, 32, p. 137.
[8] J’ai démontré incidemment la proposition actuelle par une autre méthode moins directe dans ma Thèse, p. 27. Le raisonnement fait plus loin pourD prouve aussi que siH est en outre dense en soi,H appartient tout entier àN? seul.
[9] Je profite de l’occasion pour ajouter à la liste de travaux sur les fonctions d’une infinité de variables que cite M. Hilbert ceux de M. Le Roux: Recherches sur les équations aux dérivées partielles (Journal de Math. 5e série, 1903, t. IX, p. 408-455), Les fonctions d’une infinité de variables indépendantes (Nouvelles Annales, 4e série, t. IV, 1904, p. 448-458). Voir aussi ma Thèse p. 38-45 et les notes suivantes: M. Fréchet, Sur les fonctions d’une infinité de variables, Comptes Rendus du 27 Février 1905, Essai de géométrie analytique à une infinité de coordonnées, Nouvelles Annales 4e série t. VIII, en deux parties, mars et juillet 1908.
[10] C’est à dire des fonctions dont la variable n’est pas nécessairement un nombre, mais un élément quelconque. courbe, surface, fonction, ... Voir par exemple Hadamard, Leçons sur le Calcul des Variations, chez Hermann, 1909, p. 282.
[11] R. Baire, Sur la non applicabilité des continus àn etn+p dimensions, Bulletin des Sc Math., 1908. · JFM 39.0499.01
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