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Functions of positive and negative type, and their connection with the theory of integral equations. (English) JFM 40.0408.02

In der Hilbertschen Theorie der Integralgleichungen spielt das Integral: \[ \int_a^b \int_a^b \kappa(s,t)\vartheta(s)\vartheta(t)ds dt, \] wo \(\kappa\) und \(\vartheta\) in dem Intervall von \(a\) bis \(b\) stetig und \(\kappa\) in bezug auf die Variabeln symmetrisch ist, eine Rolle, insbesondere diejenigen Fälle, in denen das Integral entweder nicht negativ oder nicht positiv ist. Mit Hülfe der Theorie der quadratischen Formen werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen hierfür aufgestellt. Verf. wendet sich dann zu einigen speziellen Funktionen \(\kappa\) der ersten Art, die sich in Produkte einer Funktion von \(s\) allein und einer von \(t\) allein spalten, und leitet hierfür eine Reihe von Sätzen ab, bei denen sogar die Bedingung der Symmetrie fallen gelassen wird. Zum Schluß wird dargetan, wie man jede Funktion \(\kappa\) in eine Summe von Produkten einfacher Funktionen von \(s\) und \(t\) allein zerlegen kann.

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