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Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raum angeordnet sind. (German) JFM 40.0289.03
“Über einen sehr großen \(\nu\)-dimensionalen Raum \({\mathfrak R}_\nu\) sind sehr viele Punkte so verteilt, daß \(n\) auf die Volumeneinheit entfallen. Wie groß ist nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit der durchschnittliche Abstand zweier Nachbarpunkte?
Der Antwort auf diese Frage muß eine Definition der durchschnittlichen Entfernung vorausgehen: Wir denken uns einen sehr großen Raum vom Volumen \(V\) und betrachten alle Möglichkeiten, in ihm \(nV\) Punkte zu verteilen. Stellt man in jeder Anordnungsmöglichkeit für jeden Punkt seinen Abstand von dem ihm zunächst liegenden fest und nimmt das arithmetische Mittel aller so erhaltenen Längen, so gelangt man zum mittleren Abstand. Eine Entfernung, die ebenso oft überschritten wie unterschritten wird, heiße der wahrscheinliche Abstand, und endlich die am häufigsten vorkommende Länge der häufigste oder wahrscheinlichste Abstand. Die so definierten drei Größen werden im Raum von unendlich vielen Dimensionen einander gleich; schon im dreidimensionalen Räume aber kommen sie einander recht nahe und können mit einem Fehler von weniger als 3% auf 5/9 \(\root 3\of{n}\) geschätzt werden. Ein solcher für alle drei Arten der Entfernung angenähert geltender und durch einen bequemen gemeinen Bruch ausgedrückter Wert kann als durchschnittlicher Abstand bezeichnet werden.”

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References:
[1] Siehe z. B. O. E. Meyer, Theorie der Gase, Breslau 1877, S. 232. R. Clausius: Kinetische Theorie der Gase, 2. Auflage, 1889-1901, S. 246.
[2] P. H. Schoute: Mehrdimensionale Geometrie, Band II, Leipzig 1905, S. 289.
[3] O. Schlömilch: Analytische Studien, Leipzig 1848, I. Abteilung, S. 47.
[4] Vgl. auch P. H. Schoute a. a. O.
[5] Vgl. z. B. die in Pascals Repertorium (deutsch von Schepp, Leipzig 1900), Band 1, S. 17, Z. 10 v. o. gegebene Formel.
[6] a. a. O. Vgl. z. B. die in Pascals Repertorium (deutsch von Schepp, Leipzig 1900), Band 1, S. 183, Z. 10 v. o. gegebene Formel.
[7] Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, Leipzig 1884, S. 11, 69, 208. Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Berlin 1908, S. 92.
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