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Über Matrizen aus positiven Elementen. II. (German) JFM 40.0202.02
Die charakteristische Gleichung einer Matrix \(A = (a_{\alpha\beta})\) mit reellen positiven Elementen besitzt, wie zuerst Perron (Math. Ann. 64, 248-263; F. d. M. 38, 202, 1907, JFM 38.0202.01) gezeigt hat, eine einfache, positive Wurzel \(r\), für welche die Gleichungen \[ \sum_\beta a_{\alpha\beta}z_\beta=rz_\alpha\quad (\alpha=1, 2,\dots,n) \] durch positive Größen \(z_1, z_2,\dots,z_n\) befriedigt werden können, und die größer ist als der absolute Betrag jeder anderen Wurzel. Für diesen Satz hat Frobenius bereits in einer früheren Arbeit (Berl. Ber. 1908, 471-476; F. d. M. 39, 213, 1908, JFM 39.0213.03), als deren Fortsetzung die vorliegende Arbeit anzusehen ist, einen einfachen Beweis angegeben. Der Verf. zeigt nun, daß der Beweis für den letzten Teil des Satzes, der besagt, daß die größte positive Wurzel von \(A\) größer ist als der absolute Betrag jeder anderen Wurzel, noch wesentlich vereinfacht werden kann. Das Beweisverfahren ist überaus elementar und ganz analog dem bekannten, von Cauchy herrührenden Verfahren, das bei dem Beweis für die Realität der Wurzeln der Säkulargleichung zur Anwendung kommt. Auf demselben Wege wird gezeigt: Ist \(b_{\alpha\beta}\) der absolute Wert der komplexen Größe \(a_{\alpha\beta}\), so ist keine Wurzel der Matrix \((a_{\alpha\beta})\) absolut größer als die (nicht negative) reelle Maximalwurzel der Matrix \((b_{\alpha\beta})\). Sind die \(n^2\) Größen \((a_{\alpha\beta)}\) reell und positiv, und setzt man \[ b_{\alpha\beta} =\sqrt{a_{\alpha\beta}a_{\beta\alpha}},\;c_{\alpha\beta}=\tfrac12(a_{\alpha\beta} +a_{\beta\alpha}), \] so ist, wenn \(r\), \(u\), \(v\) die Maximalwurzeln der Matrizen \((a_{\alpha\beta}), (b_{\alpha\beta}), (c_{\alpha\beta})\) sind, \(u\leq r\leq v\). Durch Betrachtung der Unterdeterminanten von \(\varphi(s) = | sE-A|\) wird noch der Satz bewiesen: Sind die Elemente der Matrix \(A\) reell und positiv, so hat die Gleichung \(\varphi^{(\mu)}(s) = 0\) eine reelle positive Wurzel. Die größte Wurzel \(r_\mu\) ist eine einfache Wurzel, und es ist \(r_0 > r_1 > r_2 > \cdots > r_{n-1}\). Sind die Elemente der Matrix reelle positive Variabeln, so wächst \(r_\mu\), wenn eins dieser Elemente zunimmt.

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