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Une définition du nombre de dimensions d’un ensemble abstrait. (French) JFM 40.0099.03
Eine “Klasse” ist nach Hm. Fréchet ein Inbegriff von Mengen, für welche das Grenzelement einer Folge von Elementen irgendwie definiert worden ist. Innerhalb einer Klasse läßt sich die “Dimension” \(dE\) einer Menge \(E\) wie folgt definieren. Gibt es eine umkehrbar eindeutige Abbildung von \(E_2\) auf \(E_1\) oder auf einen Teil von \(E_1\), in welcher die Grenzelemente entsprechender Elementenfolgen sich gegenseitig entsprechen, so ist \(dE_1\geq dE_2\). Ist auch \(dE_2\geq dE_1\), so folgt \(dE_1= dE_2\); im entgegengesetzten Falle ist \(dE_1> dE2\). Die Summe der Dimensionen von zwei Mengen \(E_1, E_2\) ist die Dimension einer Menge, von der jedes Element \((A, B)\) durch Verknüpfung eines Elementes \(A\) von \(E_1\), mit einem Elemente \(B\) von \(E_2\), derart entsteht, daß die Folge \((A_n, B_n)\) das Element \((A, B)\) als Grenzelement hat, sobald \(A\), \(B\) die Grenzen von \(A_n\), bzw. \(B_n\) sind. Bezeichnet man dann mit 1 die Dimension des linearen Kontinuums, so ist \(n\) Diejenige des \(n\)-dimensionalen Kontinuums; ferner gibt es Mengen, deren Dimension kleiner als 1 ist, und Mengen, deren Dimension jede endliche Zahl übertrifft. Die kleinste Dimension ist diejenige einer abzählbaren Menge von Elementen, welche eines ihrer Elemente als Grenze hat.

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