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Über die Approximation einer Funktion durch Polynome. (German) JFM 39.0471.04
Nach dem Landauschen Beweise (Referat S. 472, unten (JFM 39.0472.02)) eines bekannten Weierstraßschen Satzes konvergieren die Polynome \( P_n (x) = \frac{\int_0^1 f(x) (1-(z-x)^2)^n dz}{2\int_0^1 (1-u^2)^n du}\) nach der zwischen 0 und 1 stetigen Funktion \(f(x).\) Hat aber \(f (x)\) in diesem Intervall einfache Sprungstellen \(x_i\), so ist, wie Rieß zeigt, \( \lim_{n=\infty} P_n (x_i) = \frac{f(x_i + 0)+f(x_i -0)}2 ;\) ein Analogon der aus der Theorie der Fourierschen Reihen bekannten Gibbsschen Erscheinung tritt nicht ein.
Ganz unrichtig ist die Meinung des Verf., er habe den Begriff der gleich mäßigen Konvergenz an einer Stelle (d. h. in der Umgebung einer Stelle, wie man gewöhnlich sagt) entdeckt. Vgl. hierzu das in dem Referat über W. H. Young, On convergence and divergence usw. oben S. 468 Gesagte.

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Full Text: EuDML