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Über Matrizen aus positiven Elementen. (German) JFM 39.0213.03
Bei seinen Untersuchungen über den Jacobischen Kettenbruchalgorithmus und die charakteristischen Wurzeln der Matrizen hat Perron (Math. Ann. 64, 1-76, 248-263) folgenden merkwürdigen Satz erhalten: Sind die Elemente einer Matrix \(A = (a_{\alpha \beta})\) alle reell und positiv, so hat ihre charakteristische Gleichung eine Wurzel \(r\), die reell, positiv, einfach und absolut größer ist als jede andere Wurzel; ist \(s \geqq r\), so sind die Elemente der zu \(sE - A\) adjungierten Matrix alle positiv. Diesen Satz hat Perron durch Anwendung von Grenzbetrachtungen bewiesen. In der vorliegenden Arbeit wird der Beweis auf elementarem Wege geführt und der Satz in einigen wesentlichen Punkten vervollständigt. Es wird gezeigt: Ist \(\varphi^\prime (s)\) die Ableitung von \(\varphi (s) = | sE - A |\), und bezeichnet man die zu \(s - a_{\alpha \alpha}\) gehörende Unterdeterminante von \(\varphi (s)\) mit \(A_{\alpha \alpha} (s)\), so hat die Gleichung \(\varphi^\prime (s) = 0\) eine reelle positive Wurzel zwischen der größten und der kleinsten der Größen \(q_1, q_2,\dots, q_n\), falls \(q_\alpha\) die größte Wurzel der Gleichung \(A_{\alpha \alpha} (s) = 0\) ist. Hat die Gleichung \(\varphi (s) = 0\) noch positive Wurzeln, die von \(r\) verschieden sind, so sind diese alle kleiner als die kleinste der Größen \(q_1, q_2,\dots, q_n\). Die Zahl \(r\) liegt ferner zwischen der größten und der kleinsten unter den Zahlen \[ a_\alpha = a_{\alpha_1} + a_{\alpha_2} + \cdots (a=1, 2, \dots). \] Wird von der Matrix \(A\) nur vorausgesetzt, daß ihre Elemente \(a_{\alpha \beta}\) reell und nicht negativ sind, so ist die absolut größte Wurzel \(r\) der Gleichung \(\varphi (s) = 0\) reell und nicht negativ. Nur dann, wenn \(A_{\alpha \alpha} (r)\) für jedes \(\alpha\) gleich Null ist, ist \(r\) eine mehrfache Wurzel. Soll \(r = 0\) sein, so müssen die Größen \(a_{\alpha \alpha}, a_{\alpha \beta} a_{\beta \alpha}, a_{\alpha \beta} a_{\beta \gamma} a_{\gamma \alpha}, \dots\) sämtlich verschwinden.

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