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On families of quadratic forms in general field. (English) JFM 39.0148.01
Untersucht man die Typen kommutativer linearer Gruppen in einem beliebigen Felde (Rationalitätsbereiche) \(f\), so wird man auf die Aufgabe geführt, “Familien” quadratischer oder bilinearer Formen \(\lambda_1g_1+ \dots + \lambda_mg_m\) zu kanonisieren mit Hülfe von Substitutionen (in \(F\)) sowohl der \(m\) Parameter \(\lambda_i\), wie der \(n\) in die Formen \(g_i\) eingehenden Variabeln.
Im Falle des “allgemeinen” Feldes \(C\) aller reellen und komplexen Zahlen hat Jordan (F. d. M. 37, 136, 1906, JFM 37.0136.01; 38, 151, 1907. JFM 38.0151.01) dieses Problem für gewisse Wertreihen von \(m\) und \(n\) gelöst. Der Verf. behandelt den Fall \(m= 2\), \(n=3\), also zweier linear unabhängigen ternären quadratischen Formen, für ein beliebiges Feld. Insbesondere werden für das Feld \(C\), für das Feld \(R\) aller reellen Zahlen und für irgend ein endliches Feld die Entwicklungen durchgeführt. Besondere Schwierigkeiten entstehen, wenn entweder die Familie keine binären Formen enthält, oder aber, wenn zwar solche auftreten, diese sämtlich irreduzibel sind; übrigens treten diese beiden Fälle, wenn das Feld \(C\) oder \(R\) ist, überhaupt nicht auf. Zum Felde \(C\) gehören acht Typen, zum Felde \(R 13\); zum Felde \([p^n]\) für \(p>2\) gehören \(15\) Typen.
Im Falle \(m= n= 2\) sei \(F\) irgend ein Feld, das den Modul \(2\) nicht besitzt. Dann enthält die Familie die beiden binären quadratischen Formen \(b_1= \xi_1^2+ r\xi_2^2\), \(b_2= 2\xi_1\xi_2\). Zwei solche Familien, mit den Parametern \(r_1, r_2\), sind dann und nur dann in \(F\) äquivalent, wenn \(r_2= \varrho^2 r_1\), wo \(\varrho\) ein von Null verschiedenes Element von \(F\) ist. Nunmehr werden die Familien, die sich aus zwei linear unabhängigen ternären quadratischen Formen zusammensetzen, systematisch untersucht. Sie zerfallen in vier Gruppen: \(1\). solche, die keine binären Formen enthalten; \(2\). solche, bei denen die auftretenden binären Formen sämtlich in \(F\) irreduzibel sind; \(3\). solche, deren reduzible binäre Formen volle Quadrate sind; \(4\). solche, die eine auf \(\xi_1\xi_2\) reduzible Form enthalten.
Im ersten Falle darf man annehmen, daß zwei Formen von der Struktur \(\xi_3^2+ f_{12}^\prime\), \(a\xi_1\xi_3+ b\xi_2\xi_3+ f^{\prime\prime}_{12}\) auftreten, wo die \(f_{12}\) Formen in \(\xi_1\) und \(\xi_2\) sind. Diese lassen sich zurückführen auf die Normalgestalt: \(g_1= \xi_1^2- \xi_2\xi_3\), \(g_2= \xi_1\xi_2+ a\xi_1^2+ a_2\xi_2^2+ a_3\) (mit \(a_3 \neq 0)\). Die Determinante \(\varDelta\) des Büschels \(xg_1+ yg_2\) ist eine kubische binäre Form in \(x, y\). Es wird gezeigt, wie die verschiedenen Familien \(xg_1+ yg_2\) mit irreduzibeln Determinanten \(\varDelta\) in einander transformierbar sind, und die Anzahlen solcher Transformationen werden für die verschiedenen Unterfälle bestimmt. Ist \([p^n]\) \((p>2)\) das Feld, so ist jede Familie \(xg_1+ yg_2\) äquivalent mit einer solchen, für die \(a_1= 0, a_2=1\); ist im besonderen \(p^n\) von der Form \(3m+ 1\), so sind alle jene Familien äquivalent.
Im zweiten Hauptfalle lassen sich die Formen \(g_1, g_2\) auf die Gestalt bringen: \(g_1= \xi_1^2- \nu\xi_2^2\), \(g_2= \xi_3^2- r\xi_2^2+ 2s\xi_1\xi_2\). Die Familie enthält eine einzelne binäre Form, wenn \(D= r^2- 4r^3\) kein Quadrat in \(F\) ist, andernfalls dagegen drei binäre Formen. Aber der letztere Fall kann für endliche Felder nicht eintreten. Im ersteren Falle ergibt sich für das Feld \([p^n]\), wenn \(p^n\) von der Form \(4m+1\) ist, daß jede Familie äquivalent ist mit \(\xi_1^2- \nu\xi_2^2, \xi_3^2+ 2\xi_1\xi_2\). Für jedes \(p> 2\) sind aber die bezüglichen Familien (mit irreduzibeln binären Formen) sämtlich äquivalent.
Im dritten Hauptfalle existieren zwei Gattungen von Familien: \(\xi_1^2, \xi_2^2- r\xi_3^2\) (\(r\) kein Quadrat) und \({\xi_1}^2\), \(\xi_2^2+ 2\xi_1\xi_3\). Endlich im vierten Hauptfalle hat man als Stammformen \(g_1= \xi_1\xi_2\), \(g_2= \xi_3^2- r\xi_1^2- s\xi_2^2\). Man gelangt zu zwei nicht äquivalenten Typen: \(\xi_1\xi_2\), \(\xi_1\xi_3+ \xi_2^2\), resp. \(\xi_1\xi_3\), in dem besonderen Falle \(a+ 0\), zu \(\xi_1\xi_2\), \(\xi_1^2- r\xi_2^2\), indem wir andere Spezialfälle übergehen.

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