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Allgemeine Theoreme der mathematischen Elastizitätslehre (Integrationstheorie). (German) JFM 38.0798.01
Encykl. d. math. Wissensch. \(IV_{2}\) II, 55-124 (1907).
Während in dem Referate von Müller und Timple über die verschiedenen Wege zur Aufstellung der Grundgleichungen der mathematischen Elastizitätstheorie berichtet ist, soll der vorliegende Artikel (IV 24) die wichtigsten Resultate darlegen, welche man bei der allgemeinen Lösung dieser Gleichungen sowohl im Fälle des Gleichgewichts, wie auch der Bewegung bisher gewonnen hat. Obgleich das Studium der partiellen Differentialgleichungen neuerdings mit besonderem Erfolge betrieben worden ist, beschränkt sich die Berichterstattung im wesentlichen auf die vor dieser Epoche gewonnenen Ergebnisse; denn die Ausdehnung der neuen Methode und Ansätze auf das System der partiellen Differentialgleichungen der Elastizitätstheorie ist im allgemeinen noch nicht geleistet, wenn sich auch dieser Anwendung keine prinzipiellen Schwierigkeiten gegenüberstellen.
I. Einleitende Bemerkungen. 1. Beziechnungen. 2. Formulierung des Integrationsproblems in kritischen Koordinaten. 3. Reduktion des allgemeinen elastischen Problems auf den Fall verschwindender äußerer Kräfte. 4. Einordnung der thermischen Deformation in die allgemeine Theorie. 5. Die Grundgleichungen in rechtwinkligen krummlinigen Koordinaten. 6. Die Theorie der Elastizität in einem Raum mit beliebigen Bogenelement.
II. Allgemeine Theorie des elastischen Gleichgewichts. 7. Bestimmung der Verschiebungen aus den Formänderungen oder Spannungen. 8. Eindeutigkeit der Lösung. 9. Existenz der Lösung: Dirichletsches Prinzip. 10. Analogien zur Methode der Greenschen Funktionen in der Potentialtheorie. 11. Übertragung der Methode der Reihenentwicklung der Potentialtheorie. 12. Gemischte Integrationsmethoden. 13. Analytische Verallgemeinerung des Gleichgewichtsproblems.
III. Allgemeine Theorie der elastischen Bewegung. 14. Eindeutigkeit der Lösung. 15. Die ausgezeichneten Lösungen bei begrenzten Systemen. 16. Der Fall eines unbegrenzten Mediums. Wellen. 17. Fortpflanzung einer Stoßwelle in einem beliebigen elastischen Medium. 18. Analytische Verallgemeinerung des Bewegungsproblems.