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The stability or instability of the steady motions of a perfect liquid and of a viscous liquid. (English) JFM 38.0741.02
Dublin Proc. 27, 9-68. [Nature 75, 119.] (1907).
Aus Versuchen ist bekannt, daß, wenn Wasser durch ein Kreisrohr fließt, die stetige Bewegung instabil ist, falls die Geschwindigkeit eine von dem Radius der Rohrs abhängige Grenze übersteigt. Mathematisch hat Lord Rayleigh bewiesen, daß sowohl in diesem Falle, als bei anderen Strömungen in ebenen Flächen, einschließlich derjenigen einer gleichmäßig scherenden Flüssigkeit, die fundamentalen Arten “freier Störung” stabil sind, wenn die Viskosität bei der gestörten Bewegung unbeachtet gelassen wird, während die freien Perioden reell sind. Somit besteht ein scheinbarer Widerspruch zwischen der Theorie und dem Experiment. Es widerstreitet jedoch der Lehre der Fourierschen Analysis, zu schließen, eine allgemeine Störung sei stabil, auf Grund der Tatsache, daß die “freien Störungen” Stabilität besitzen, sogar von einem exponentialen Typus. In einem aus dem Gleichgewicht aufgestörten System wird die Frage der Stabilität in Wahrheit durch ein Energiekriterium entschieden, das in der Regel auf Fragen der Stabilität der Bewegung unanwendbar ist. Wenn eine durch die unendlichen Ebenen \(y=0\) und \(y=b\) begrenzte Flüssigkeit, welche in der \(x\)-Richtung gleichförmig schert, einer anfänglichen Störung unterworfen wird, für welche die Stromfunktion \(\psi=\sin lx \sin my\) ist, so ergibt sich ein Anwachsen der Störung, wie dies die Gleichungen zeigen, und zwar in beträchtlichem Maße beim Herannahen einer gewissen Zeit, nach welcher sie unbegrenzt abnimmt. Ein ähnliches Resultat wird für eine symmetrische Störung von einfachen Typus in einer kreisförmigen Röhre erhalten, wenn die stetige Bewegung die einer zähen Flüssigkeit zwischen konzentrischen Zylindern ist, von denen der eine rotiert, oder auch alle beide; ein ähnliches Resultat gilt auch für eine zweidimensionale Störung (falls nicht die Flüssigkeit wie ein starrer Körper rotiert). Es wird behauptet, daß diese Ergebnisse eine so befriedigende Erklärung der beobachteten Instabilitäten liefern, wie von einer Untersuchung zu erwarten ist, welche die Viskosität außer acht läßt.