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Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen. (German) JFM 38.0448.01
Nach Landau läßt sich der spezielle Picardsche Satz über ganze transzendente Funktionen folgendermaßen verallgemeinern: Wenn die Funktion \(f(z)\) für \(z=0\) den Wert \(A_{0}\) annimmt, im Innern des Einheitskreises regulär ist, sich also in der Form einer Potenzreihe \(A_{0}+A_{1}z+A_{2}z^{2}+\cdots\) darstellen läßt, und darin die Werte Null und Eins ausläßt, so liegt der absolute Betrag von \(A_{1}\) unter einer nur von \(A_{0}\) abhängigen Grenze, oder, mit anderen Worten, der Punkt \(A_{1}\) liegt im Innern eines Kreises, dessen Radius man angeben kann. Auf ähnliche Weise werden von dem Verf. die reellen und imaginären Teile der \(n\) Koeffizienten \(A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\) als Koordinaten eines Punktes im \(2n\)-dimensionalen Raume gedeutet; dieser Punkt heißt \(n\)-ter Repräsentant der betreffenden Potenzreihe.
Bei Funktionen von \(z\), die im Innern und auf dem Rande des Einheitskreises regulär sind, für diese Werte von \(z\) einen positiven reellen Teil besitzen und für \(z=0\) den Wert Eins annehmen, liegt der \(n\)-te Repräsentant jedenfalls im Endlichen. Die Gesamtheit der \(n\)-ten Repräsentanten erfüllt im \(R_{2n}\) einen \(2n\)-dimensionalen konvexen Körper \({\mathfrak K}_{n}\); dieser läßt sich definieren als der kleinste konvexe Körper, der die Kurve \({\mathfrak C}_{n}\) mit den \(2n\) Koordinaten \[ 2\cos\vartheta,2\cos 2\vartheta,\dots,2\cos n\vartheta, \] \[ -2\sin\vartheta,-2\sin 2\vartheta,\dots,-2\sin n\vartheta \] enthält, wo \(\vartheta\) von 0 bis \(2\pi\) variiert. Es gibt nur eine Funktion \(f(z)\), deren Repräsentant ein gegebener Punkt der Oberfläche \({\mathfrak O}_{n}\) von \({\mathfrak K}_{n}\) ist, und zwar ist diese rational und höchstens vom \(n\)-ten Grade. Sie läßt sich in der Form \[ f(z)=\sum_{\nu=1}^{n}\,\lambda_{\nu}\;\frac{e^{i\vartheta_{\nu}}+z}{e^{i\vartheta_{\nu}}-z} \] darstellen, wo die reellen Konstanten \(\lambda_{\nu}\), \(\vartheta_{\nu}\) den Bedingungen \(0\leqq\vartheta_{\nu}\leqq 2\pi\), \(\lambda_{\nu}\geqq 0\), \(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=1\) \((\nu=1,2,\dots,n)\) genügen. Umgekehrt gehört der Repräsentant jeder rationalen Funktionen \(f(z)\), die sich in der angegebenen Form darstellen läßt, der Oberfläche \({\mathfrak O}_{n}\) an.
Von diesem speziellen Falle gelangt man mittels einer geeigneten konformen Abbildung zu einer allgemeineren Fragestellung. Es sei \(T\) ein Gebiet der Ebene der komplexen Veränderlichen \(u\), auf das die Halbebene \({\mathfrak R} (y)\geqq 0\) mit Hülfe der analytischen Funktion \(u=g(y)\) abgebildet werde. Dabei gehe der Punkt \(y=1\) in den regulären Punkt \(u=M_{0}\) des Innern von \(T\) über. Dann läßt sich \(g(y)\) in der Umgebung des Punktes \(y=1\) in eine konvergente Potenzreihe der Form \[ u=M_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}M_{k}(y-1)^{k}, \] bei der \(M_{1}\) von Null verschieden ist, entwickeln; mithin ist umgekehrt \[ y-1=\sum_{k=1}^{\infty}N_{k}(u-M_{0})^{k}. \] Jetzt sei \(u(z)\) eine analytische Funktion von \(z\), die für die Punkte des Einheitskreises auf das Innere von \(T\) beschränkt bleibt, in diesem Gebiete regulär ist und für \(z=0\) den Wert \(u=M_{0}\) annimmt, so daß \[ u=M_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}z^{k} \] wird. Um das Variabilitätsgebiet des \(n\)-ten Repräsentanten dieser Potenzreihe zu untersuchen, setze man in der Potenzreihe für \(y-1\) statt \(u\) die gegebene Funktion \(u(z)\) ein. Dann ist \(y\) eine Funktion von \(z\), die den Bedingungen des speziellen Falles genügt, und daher gehört der \(n\)-te Repräsentant der Potenzreihe von \(z\), durch die sich \(y\) darstellen läßt: \[ y=1+\sum_{k=1}^{\infty}C_{k}z^{k}, \] dem Körper \({\mathfrak K}_{n}\) an. Da aber die Koeffizienten \(A_{1},\dots,A_{n}\) mit den Koeffizienten \(C_{1},\dots,C_{n}\) in eineindeutiger Weise durch eine Cremona-Transformation verbunden sind, so ergibt sich nicht nur der Variabilitätsbereich \(K_{n}\) des \(n\)-ten Repräsentanten \((A_{1},\dots,A_{n})\), wenn man auf den Körper \({\mathfrak R}_{n}\) diese birationale Transformation ausübt, sondern man weiß auch, daß die Oberfläche von \(K_{n}\) sich nicht schneiden kann, und daß der Körper \(K_{n}\) einfach zusammenhängend ist. Die Oberfläche von \(K_{n}\) enthält ausschließlich Repräsentanten von Funktionen der Form \(g(y)\), wo \(y\) gewisse rationale Funktionen \(n\)-ten Grades von \(z\) bezeichnet.

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References:
[1] E. Landau, Sitzungsb. d. Berl. Akad. (1904), XXXVIII (pag. 1118) siehe auch A. Hurwitz, Züricher Vierteljahrsschr. XLIX (pag. 242); F. Schottky, Berl. Akad. (1904) XLII (pag. 1244); C. Carathéodory, C. R. Bd. 141 (1905), p. 1213; P. Boutroux, Bull. Soc. Math. Bd. 34 (1906), p. 30. Während des Druckes dieser Arbeit hat Herr Landau eine ausführliche Darstellung der in Betracht kommenden Fragen publiziert (Vierteljahrsschrift derNaturforschenden Gesellschaft in Zürich Bd. 51, p. 252). Insbesondere wird im § 15 dieser Arbeit ein dem uns hier beschäftigenden analoges Problem auf ein algebraisches rekurrentes Verfahren zurückgeführt.
[2] Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896) p. 200.
[3] Der Ausdruck ist von Minkowski eingeführt l. c. Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896) p. 13.
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