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Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlich vielen Variabeln. (German) JFM 38.0153.01
Göttingen. 84 S. (1907).
Die Arbeit knüpft an Untersuchungen von Hilbert an (”F. d. M. 37, 351, 1906, siehe JFM 37.0351.03 u. JFM 37.0351.04”). Das Prinzip ist, Theoreme der Analysis als Analoga algebraischer Sätze aufzufassen, indem man von unendlich vielen Variabeln statt von den endlich vielen der Algebra spricht. Insbesondere handelt es sich um die Theorie der orthogonalen Transformation einer gewissen Klasse quadratischer Formen von unendlich vielen Variabeln – der “beschränkten” Formen –. Hier tritt etwas Spezifisches gegenüber der Algebra hinzu: während jede endliche quadratische Form orthogonal auf einer allgemeinen beschränkten Form nach Abspaltung abzählbar unendlich vieler Quadrate stets noch ein Bestandteil zurück, der sich nicht orthogonal auf eine Quadratsumme transformieren läßt; wohl aber gestattet der letztere eine kanonische Darstellung durch ein Integral. Das Integrationsgebiet, eine reelle perfekte Punktmenge – das Streckenspektrum ist weiterhin in einzelne invariante Bestandteile aufzulösen und damit das vollständige Invariantensystem der beschränkten quadratischen Form gegenüber allen orthogonalen Transformationen aufzustellen.
Nach Aufstellung einiger Hülfssätze beschäftigt sich das erste Kapitel mit der Diskussion der kanonischen Integraldarstellung und des Spektrums. Hierbei spielen eine wesentliche Rolle die Systeme der Zuwächse gewisser von einem Parameter \(\mu\) abhängiger beschränkter Formen \(\sigma(\mu;x)\) als Systeme von Differentialformen. Während die “Eigenwerte” \(\lambda\) der quadratischen Form \(K(x)\) in bekannter Weise definiert werden, als Stellen, für die die linearen Gleichungen \(x_{2}-\lambda\sum_{(q)}k_{pq}x_{q}=0\) \((p=1,2,\dots)\) ein Lösungssystem mit konvergenter Quadratsumme besitzen, kann man die Stellen des Streckenspektrums ähnlich definieren, indem man jene Konvergenzbedingung durch die andere ersetzt, daß die \(x_{p}\) Koeffizienten einer Differentialform sind.
Was die weitere Zerlegung des Spektrums angeht, so gilt als Hauptsatz, daß sich jede Form in abzählbar viele Bestandteile mit einfachem Spektrum zerspalten läßt, die sich teilweise überdecken können. Danach läßt sich für die sogenannten “regulären” Formen das vollständige System der Orthogonalinvarianten in einem Systeme meßbarer Punktmengen angeben.
Für die allgemeinsten Formen ist noch die Art des Anwachsens einer gewissen, mit dem Spektrum definierten monotonen Funktion invariant. Es wird ein Verfahren angegeben, das ein notwendiges undhinreichendes Kriterium für die orthogonale Äquivalenz zweier Formen enthält. Im Anhang werden einige Anwendungen des Begriffes der Differentialformen gegeben. Ein Haupthülfsmittel der Untersuchungen ist der Gebrauch gewisser integralartiger Grenzprozesse, die aus Funktionen beschränkter Schwankung \(f(x)\), \(g(x)\) neue Funktionen \(\int_{0}^{x}\frac{(df)^{2}}{dg}\), \(\int_{0}^{x}\sqrt{dfdg}\) herleiten, deren Zuwächse zu denen jener in gewissen Relationen stehen, ohne daß Differenzierbarkeit vorausgesetzt wird. Diese Prozesse der Integration sind auch auf meßbare Mengen auszudehnen.
Nach diesem allgemeinen Überblicke werde auf den Inhalt näher eingegangen. Von den drei Abschnitten der Arbeit behandelt der erste das Spektrum der quadratischen Formen, der zweite Hülfssätze über Integrale und meßbare Mengen, endlich der dritte hinreichende Bedingungen für die orthogonale Äquivalenz.
Zunächst wird eine Reihe von Hilbertschen Begriffen und Sätzen vorausgeschickt. Vom Begriff einer beschränkten Bilinearform \(A(x,y)\) zweier Reihen von abzählbar unendlich vielen Variabeln \(x_{1},x_{2},\dots\) und \(y_{1},y_{2},\dots\) wird ausgegangen. Von zwei solchen Formen läßt sich das Produkt (Faltung) \(AB\) im Sinne des Matrizenkalküls bilden, und es gilt für solche Produkte das assoziative Gesetz.
Sodann wird der Begriff der orthogonalen Transformation aufgestellt. Jeder Form \(A\) entspricht eine lineare Transformation der Punkte \((x_{1},x_{2},\dots)\) mit konvergenter Quadratsumme \(\varSigma x_{p}^{2}\). Eine umkehrbar eindeutige Transformation \(O\) dieser Art heißt orthogonal, wenn sie die Einheitsform \(E(x,y)=\varSigma x_{p}y_{p}\) in sich überführt. Der Faltungsprozeß ist solchen Transformationen \(0\) gegenüber kovariant. Eine quadratische Form \(E(x,x)\) heißt eine “Einzelform”, wenn sie sich bei Faltung mit sich selbst reproduziert; zwei Einzelformen \(E_{1}\), \(E_{2}\) heißen orthogonal zueinander, wenn \(E_{1}(x,.) E_{2}(.,x)=0\).
Eine quadratische Form \(K(x)\) geht durch eine \(0\) in eine andere Form \(K'(x')\) über. Man kann \(K(x)=\text{const}\). und \(K'(x')=\text{const}\). als Gleichung der nämlichen “Fläche” \(F_{2}\) zweiten Grades auffassen. Es ist dann das vollständige Invariantensystem einer solchen Form oder einer solchen \(F_{2}\) gegenüber allen \(0\) aufzustellen.
Die Grundlage zur Behandlung dieses Problems bildet ein fundamentales Theorem von Hilbert. Danach läßt sich \(K\) durch orthogonale Transformation der \(x_{1},x_{2},\dots\) in die neuen variabeln \(x_{1}',x_{2}',\dots,\xi_{1},\xi_{2},\dots\) stets auf die Form bringen \(K(x)=\sum_{i}\frac{{x_{i}'}^{2}}{\lambda_{i}}+\int_{(s)}\frac{d\sigma(\mu;\xi)}{\mu}\). Hier sind die \(\lambda_{i}\) abzählbar unendlich viele reelle Zahlen, die “Eigenwerte” der Form, deren Gesamtheit ihr “Punktspektrum” heißt; die “Spektralform” \(\sigma(\mu;\xi)\) bedeutet eine gewisse, den reellen Parameter \(\mu\) enthaltende, monoton wechsende, beschränkte, quadratische Form; die den Nullpunkt nicht enthaltende perfekte Menge \(s\) der Punkte, in deren Umgebung \(\sigma(\mu;\xi)\) nicht identisch in allen \(\xi\) konstant ist, heißt “Streckenspektrum” von \(K\). Die Zahlen \(\lambda_{i}\) sind eindeutig, die Form \(\sigma(\mu;\xi)\) eindeutig bis auf eine \(O\) der \(\xi\) bestimmt. Die \(\lambda_{i}\) (mit ihrer Vielfachheit gesählt) sowie das Streckenspektrum \(s\) sind Invarianten von \(K(x)\) gegenüber den \(O\).
Andererseits lassen sich rein begrifflich orthogonale Invarianten von \(K(x)\) definieren. Man gelangt so zu drei Arten von Werten \(\lambda\), deren jede bei orthogonaler Transformation invariant ist.
Nunmehr wird die Spektralform \(\sigma(\mu; x)\) einer eingehenden Untersuchung unterzogen. Die Differenz der Spektralform \(\sigma(\lambda;\xi)\) für irgendein Intervall ist eine Einzelform; diese Einzelformen für verschiedene getrennt liegende Intervalle sind zueinander orthogonal. Indem statt der Spektralform selbst ihre Zuwächse \(\varDelta_{i}\sigma(\mu;\xi)\) in jedem Intervall zugrunde gelegt werden, wird man veranlaßt, in der Grenze statt von dem System der Formen \(\sigma(\mu;\xi)\) von dem “System ihrer Differentialformen \(d\sigma(\mu;\xi)\)” zu sprechen, wenn dies auch nur symbolisch Bedeutung hat. Die Differentialformen \(d\sigma(\lambda;\xi)\) bilden dann ein System zueinander orthogonaler Einzelformen. Darauf gelingt es, das Spektrum einer quadratischen Form nach der Reduzibilität des Streckenspektrums behandelt, d. h.: kann man durch orthogonale Transformation erreichen, daß \(K(x)\) in eine Summe quadratischer Formen verschiedener Teile der neuen Variabeln zerfällt? In der Tat läßt sich zu jeder vorgegebenen Zerlegung des Spektrums in beliebig viele Teile durch eine orthogonale Transformation der Form \(K(x)\) ein Zerfallen in eine Summe ebensovieler Formen getrennter Reihen von Variabeln herbeiführen.
Mit den erhaltenen Orthogonalinvarianten ist indessen das vollständige Invariantensystem einer quadratischen Form noch nicht erschöpft. Um weitere Invarianten zu finden, ist das Verhalten von \(\sigma(\mu:x)\) oder \(d\sigma(\mu:\xi)\) an einer festen Stelle \(\mu\) zu untersuchen. Zu den Behuf word erst eine Reihe von Hülfssätzen über Integrale und meßbare Mengen eingeschaltet. Es kommen hauptsächlich Funktion \(f(x)\) von beschränkter Schwankung in Betracht; aus \(f(x)\) wird die stetige Funktion \(\varphi(x)=\int_{0}^{x}\left| df(x)\right|\) hergeleitet.
Sind weiter \(g(x)\) und \(h(x)\) ebenfalls zwei stetige, etwa von 0 bis 1 monoton wachsende Funktion, so spielt das Integral \(\int_{0}^{1}\sqrt{dg(x)db(x)}\) eine besondere Rolle; insbesondere sind Funktionenpaare \(g\), \(h\) von Bedeutung, die, ohne auch nur in irgendeinem Intervalle konstant zu sein, doch ein identisch verschwindendes \(\int_{0}^{x}\left|\sqrt{dgdh}\right|\) liefern. Um zu entscheiden, wann das Integral \(\int_{0}^{x}\sqrt{dgdh}\) umgekehrt werden kann, ist vorerst der Begriff der größten Menge, auf der eine Funktion konstant ist, zu verfolgen, und die obigen Integraldefinitionen sind auszudehnen auf die allgemeinen Mengentypen, die sich hierbei ergeben. Mit perfekten Mengen kommt man nicht aus, wohl aber mit den von Borel als meßbar bezeichneten Mengen. “Meßbar” ist eine jede Strecke der \(x\)-Achse sowie jede Menge, die aus Mengen endlich vieler solcher Strecken durch Anwendung einer der beiden Operationen in endlicher Anzahl entsteht: (a) man bilde die Summenmenge, d. i. die Gesamtheit der Punkte abzählbar unendlich vieler Mengen \({\mathfrak M}_{1},{\mathfrak M}_{2},\dots\); (b) man bilde die “Durchschnittsmenge”, d. i. die Gesamtheit der in abzählbar unendlich vielen Mengen gleichzeitig enthaltenen Punkte. Das “Maß” einer solchen Menge \(\mathfrak M\) ist definiert durch die drei Festsetzungen: (\(\alpha\)) das Maß einer Strecke ist ihre Länge; (\(\beta\)) das Maß einer Summenmenge ist die Summe ihrer Maße; (\(\gamma\)) enthält die \({\mathfrak M}_{1}\) eine \({\mathfrak M}_{2}\), so ist das Maßvon \({\mathfrak M}_{1}-{\mathfrak M}_{2}\) gleich der Differenz der Maße von \({\mathfrak M}_{1}\) und \({\mathfrak M}_{2}\). Die Länge Null kommt der aus einem einzigen Punkte bestehenden Menge zu, woraus sich der Begriff der “Nullmengen” ergibt. Es läßt sich ein gewisses Beweisprinzip formulieren, das aussagt, daß, sobald ein Satz für gewisse Klassen von Mengen richtig ist, er auch für jede meßbare Menge gültig bleibt.
Für die vorliegende Anwendung folgt, daß die Menge der Werte, die eine monotone Funktion auf einer meßbaren Menge annimmt, wieder meßbar ist. Das Maß der Wertmenge \(M\), die den Punkten der meßbaren Menge \(M\) entspricht, wird bezeichnet mit \(\overline{M}=\int_{(M)}df(x)\). Es wird dann der grundlegende Satz bewiesen: Damit eine monotone Funktion \(h(x)\) als Integral eines Quadrates mit dem Nenner \(dg(x)\) darstellbar ist, ist notwendig und hinreichend, daß jeder Nullmenge der \(g\)-Achse durch die Relationen \(g=g(x)\), \(h=h(x)\) eine Nullmenge der \(h\)-Achse entspricht, woraus die Umkehrbarkeit des Integrales \(\int_{0}^{x}\left|\sqrt{dg(x)}\right| dx\) folgt.
Um jetzt zu hinreichenden Bedingungen für die orthogonale Äquivalenz zu gelangen, wird das Streckenspektrum in abzählbar viele einfache Spektren zerlegt. Es beruht das darauf, daß sich \(d\sigma(\mu;x)\) als Summe von Quadraten gewisser linearer Differentialformen darstellen läßt, woraus sich der Begriff der Vielfachheit des Streckenspektrums an jeder Stelle ergibt. Diese Zerlegung der Spektralform überträgt sich auf die Integraldarstellung der den Ausgangspunkt bildenden quadratischen Form \(K(x)=\int_{(s)}\frac{d\sigma(\mu;x)}{\mu}\). Damit gelingt der Aufbau der allgemeinsten quadratischen Form mit Streckenspektrum. Zwei Formen sind sicher dann orthogonal äquivalent, wenn ihr Spektrum eine Zerlegung in dieselben einfachen Spektren mit denselben “Basisfunktionen” gestattet. Diese hinreichenden Bedingungen für orthogonale Äquivalenz sind aber noch keineswegs die notwendigen. Um über die zu entscheiden, wird erst die besonders einfache und wichtige Klasse von Streckenspektren untersucht, die entsteht, indem man \(\mu\) selbst als Basisfunktion nimmt. Man wird so zu “regulären” Formen \(K(x)\) geführt, für die das Integral ihrer Spektralform \(\sigma(\mu;x)\) über jede Nullmenge der \(\mu\)-Achse identisch verschwindet. Zwei reguläre Formen sind dann und nur dann orthogonal äquivalent, wenn ihre eigentlichen Spektren einschließlich der Vielfachheiten, abgesehen von Mengen vom Maße Null, übereinstimmen. Auf Grund dieser Vorbereitungen läßt sich ein allgemeines Äquivalenzkriterium aufstellen.