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Die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie. (German) JFM 37.0783.09
Die wichtigsten in der Potentialtheorie benutzten Orthogonalsysteme kann man bekanntlich als Spezialfälle oder ausartungen des Systems konfokaler Zykliden ansehen, und dementsprechend sind die meisten der in jener Theorie auftretenden Reihenentwicklungen in den Reihen enthalten, mittels deren die Randwertaufgabe für einen von sechs konfokalen Zykliden begrenzten Körper gelöst wird. Diese allgemeine Aufgabe ist ausführlich in dem Buche von Bôcher “Über die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie” (vgl. F. d. M. 25, 1525, 1894, JFM 25.1525.03) behandelt; doch fehlt dort der Beweis für die Möglichkeit und die Konvergenz der Entwicklungen. Auch in der an Bôcher anknüpfenden Dissertation von Jaccottet (vgl. F. d. M. 26, 522, 1895, JFM 26.0522.01) ist der Konvergenzbeweis nicht vollständig erbracht. Die hier noch vorhandene Lücke soll die vorliegende Arbeit ausfüllen. Sie stützt sich auf die Hilbertschen Methoden der Integralgleichung und zeigt, daß sich aus den viel allgemeineren Hilbertschen Sätzen die Konvergenz der in Betracht kommenden Reihen fast ohne Rechnung ergibt.
In engem Anschluß an Hilberts Ableitung für die Entwicklung nach Kugelfunktionen werden zunächst die nach den gewöhnlichen Laméschen Funktionen fortschreitenden Reihen behandelt. In bekannter Art werden auf der Kugel vom Radius 1 statt der Polarkoordinaten die Parameter \(\mu ,\nu\) zweier Schalen von konfokalen Kegeln zweiter Ordnung eingeführt, und die transformierte Differentialgleichung der Kegelfunktionen wird durch Produkte Laméscher Funktonen integriert. Aus der Entwicklung nach Kegelfunktionen folgt sofort die nach Lamésche Produkten. Es ergibt sich dabei, daß die sämtlichen Eigenfunktionen der untersuchten Differentialgleichung, die sich auf der ganzen Kugel regulär verhalten, sie durch Produkte der Form \(E_s^n(\mu )E_s^n(\nu )\) darstellen lassen, wo die \(E\) die gewöhnlichen Laméschen Funktionen sind.
Weiter werden Gebiete (Rechtecke) der Kugel betrachtet, die von zwei Kurven \(\mu\)=Konst. und zwei Kurven \(\nu\)=Konst. begrenzt werden. Auch für diese Gebiete kann man leicht Eigenfunktionen bilden, d. h. solche Funktionen, die der in bezug auf den Parameter erweiterten, auf \(\mu ,\nu\) transformierten Gleichung der Kugelfunktionen genügen, und die auf der Begrenzung verschwinden. Die in Rede stehenden Eigenfunktionen haben die Form \(E'(\mu )E''(\nu )\), und das Kleinsche Oszillationstheorem zeigt, daß man nur auf eine Art derartige Produkte bilden kann, so daß \(E'\) und \(E''\) in den betrachteten Intervallen je eine gegebene Zahl von Nullstellen haben. Die Frage ist, ob alle Eigenfunktionen diese Form haben müssen. Zur Entscheidung dieser Frage wird zunächst der Kugeloktant betrachtet. Die Eigenfunktionen desselben sind notwendig unter denen enthalten, die auf der ganzen Kugel regulär sind, müssen also die vorgeschriebene Form haben. Falls ferner zu einem rechteck im Innern des Oktanten Eigenfunktionen gehören würden, die von den Laméschen Produkten wesentlich verschieden wären, so läßt sich zeigen, daß solche auch bei dem Oktanten auftreten müßten, was nach dem Vorgehenden nicht möglich ist.
Nachdem für die in Rede stehenden Eigenfunktionen noch einige Sätze abgeleitet sind, geht der Verf. von der Differentialgleichung der Kugelfunktionen zu einer anderen über, die er als “Normalgleichung” bezeichnet. Es ist die Gleichung \[ \frac {\partial^2f}{\partial \xi^2}+\frac {\partial^2f}{\partial\eta^2}+\lambda\mu f=0, \] worin \(\xi ,\eta\) gewisse von \(\mu\), resp. \(\nu\) abhängige elliptische Integrale erster Gattung sind, \(\lambda\) ein Parameter. Von dieser Differentialgleichung wird gezeigt, daß auch ihre Eigenfunktionen für Gebiete der betrachteten Gestalt die Form Laméscher Produkte haben und sich durch das Oszillationstheorem vollständig bestimmen lassen. Dasselbe gilt von den Eigenfunktionen der Gleichung \[ \frac {\partial^2f}{\partial\xi^2}+\frac {\partial^2f}{\partial\eta^2}+[-\varrho (\mu^3-\nu^3)+\lambda (\mu-\nu )]f=0, \] und auf diese Gleichung läßt sich die beim Zyklidensechsflach auftretende zurückführen. Kennt man aber die Eigenfunktionen, so läßt sich die Frage der Entwickelbarkeit nach diesen durch die allgemeineren Hilbertschen Sätze erledigen.

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References:
[1] Der Name findet sich zuerst bei Klein in den G?ttinger Nachrichten 1890, S. 90.
[2] G?ttinger Nachrichten 1904, S. 49-91 u. S. 213-259.
[3] Hilbert, ib. G?ttinger Nachrichten 1904, S. 67.
[4] Pockels, ?u+k 2 u=0, S. 33.
[5] Pockels, S. 95.
[6] H. A. Schwarz, Gesammelte Abhandlungen I, S. 260.
[7] Hilbert l. c. G?ttinger Nachrichten 1904, S. 241.
[8] Vergl. z. B. Formel (12) f?r die den Nabelpunkten auf dem Ellipsoide entsprechenden Punkte, welche im ?brigen die Anwendbarkeit der Hilbertschen Theorie nicht st?ren, wie man leicht durch Grenz?bergang zeigt, nachdem man die vier Punkte durch kleine Kurven umgeben hat.
[9] Hilbert l. c. G?ttinger Nachrichten 1904, S. 238.
[10] ? s n ist bekanntlich durch eine algebraische Gleichung zu bestimmen (siehe z. B. Heine, Kugelfunktionen, Bd. 1).
[11] Harnack, Theorie des logarithmischen Potentials, S. 78.
[12] Hilbert, l. c. G?ttinger Nachrichten 1904, S. 58.
[13] Eine ausf?hrliche Darstellung davon siehe B?cher l. c. S. 120, das dort Gebrachte wird als bekannt vorausgesetzt.
[14] Das letztere siehe B?cher S. 128.
[15] Hilbert l. c. G?ttinger Nachrichten 1904, S. 226.
[16] Klein, Annalen Bd. 18. Unsere Bezeichnung ist analog der von B?cher f?r das Zyklidensechsflach ben?tzten, das in der allgemeinen Theorie auftretendee 2 f?llt hier mite 1 zusammen, welches doppelt z?hlt.
[17] Klein bei B?cher, S. 58.
[18] Vergl. wegen der Bezeichnung B?cher, S. 146.
[19] Berichte der S?chs. Ges. 1886.
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