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Additional remark to my second communication on Hilbert’s independency theorem. (Nachträgliche Bemerkung zu meiner II. Mitteilung über den Hilbertschen Unabhängigkeitssatz.) (German) JFM 36.0428.02
Leipz. Ber. 57, 313-314 (1905).
(Siehe auch JFM 36.0428.01) In der ersten Mitteilung über den Hilbertschen Unabhängigkeitssatz (F. d. M. 34, 398, 1903, JFM 34.0398.01) hatte der Verf. nur den Zweck im Auge, für das vorgelegte Problem der Variationsrechnung diejenige bestimmte Form dieses Satzes zu gewinnen, welche die Weierstraßsche \(E\)-Funktion auf das besondere Extremalenfeld bezieht, das unmittelbar zu dem Jacobischen Kriterium der konjugierten Punkte führt. Diese besondere, allerdings aber auch besonders wichtige Form des Satzes läuft im wesentlichen darauf hinaus, die Hamiltonsche partielle Differentialgleichung des Problems durch die Jacobi-Hamiltonsche Methode vollständig zu integrieren. Die allgemeine Lösung derjenigen Hilbertschen Aufgabe, auf deren Erledigung sich der Unabhängigkeitssatz gründet, muß man also erhalten können, sobald man nur die allgemeine Cauchysche Methode an Stelle jener speziellen Methode zur Integration der partiellen Differentialgleichungen des Problems benutzt. In der Tat zeigt die Durchführung dieses Gedankens, daß die so erhaltene Lösung alle möglichen Lösungen jener Aufgabe umfaßt. Diese Resultate werden, unabhängig von den früheren Untersuchungen und ohne die Cauchysche Methode als bekannt vorauszusetzen, in der vorliegenden Abhandlung entwickelt.
Das Problem, um das es sich handelt, ist: Unter allen Funktionen \(y_1, \dots, y_n\) von \(x\), die \(r<n\) gegebenen, in bezug auf die Differentialquotienten \(y_1', \dots, y_n\) voneinander unabhängigen Bedingungsgleichungen \[ f_\varrho (x, y_1, \dots, y_n, y_1', \dots, y_n') =0 \quad (\varrho=1, 2, \dots, r) \] genügen, an beiden Grenzen \(x_0\) und \(x_1> x_0\) feste Werte besitzen und zwischen diesen Grenzen mit ihren ersten Differentialquotienten stetig bleiben, diejenigen zu finden, welche das Integral \[ \int_{x_0}^{x_1} f(x, y_1, \dots, y_n, y_1', \dots, y_n') dx \] zu einem Extremum machen.
Zunächst wird untersucht, in welchem Zusammenhange dieses Problem zu der folgenden Hilbertschen Aufgabe steht: Die Variabeln \(p_1, \dots, p_n, \mu_1, \dots, \mu_r\) als Funktionen von \(x, y_1, \dots, y_n\) so zu bestimmen, daß der Ausdruck \[ | \varOmega | + \sum_{i=1}^n (y_i' -p_i)\;\frac{\partial |\varOmega|}{\partial p_i}, \] in welchem \[ | \varOmega | \equiv f(x, y_1, \dots, y_n , p_1, \dots, p_n) +\sum_{\varrho=1}^r \mu_\varrho f_\varrho (x, y_1, \dots, y_n, p_1, \dots, p_n) \] ist und \(y_1, \dots, y_n\) als unbestimmte Funktionen von \(x\) zu betrachten sind, ein vollständiger Differentialquotient und zugleich den \(r\) Bedingungen \[ f_\varrho (x, y_1, \dots, y_n, p_1, \dots, p_n)=0 \] identisch genügt werde.
Der Verf. gelangt schließlich zu einem Satze (V), der nach vollständiger Lösung der Differentialgleichungen seines Variationsproblems \[ \frac d{dx}\;\frac{\partial \varOmega}{\partial y_i'} = \frac{\partial \varOmega}{\partial y_i}\,, \quad f=0, \] wo \[ \varOmega \equiv f+ \sum_{\varrho=1}^r \lambda_\varrho f_\varrho \] ist, jedes System von Lösungen dieser Differentialgleichungen zu erhalten gestattet, welches mit irgend einem Systeme von Lösungen des Hilbertschen Problems in den Beziehungen \[ y_i' =p_i, \quad \lambda_\varrho =\mu_\varrho \] steht. In der nachträglichen Bemerkung zu seiner zweiten Mitteilung gibt der Verf. dann noch die Regel an, nach der sich solche zusammengehörigen Lösungen der Differentialgleichungen seines und des Hilbertschen Problems erhalten lassen.
In dem letzten Paragraphen seiner zweiten Mitteilung, die sich mit dem zweiten Teile der vorstehend besprochenen Hilbertschen Abhandlung eng berührt, werden noch die Grenzen der Anwendbarkeit des Hilbertschen Unabhängigkeitssatzes untersucht.

MSC:
49K15 Optimality conditions for problems involving ordinary differential equations