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The differential invariants of space. (English) JFM 36.0178.01
Es handelt sich um die Lösung folgender drei Probleme: 1) Die Bestimmung der Differentialinvarianten aller Ordnungen des Raumes \(R_n\); 2) die Bestimmung von Invarianten irgend einer Mannigfaltigkeit des \(R_n\) gegenüber Transformationen, die ihre “Gestalt” nicht ändern; 3) die Bestimmung von “Deformationsinvarianten” einer solchen Mannigfaltigkeit. Der Begriff “Invariante” umfaßt hier die ganze Klasse der Gaußschen Invarianten, Parameter und Kovarianten. Die Probleme gelten als gelöst, wenn eine Methode gegeben wird, die durch direkte Prozesse eine vollständige unabhängige Reihe von Invarianten aufzustellen gestattet.
So ergibt sich bei 1), daß alle Invarianten ausgedrückt werden können als algebraische Invarianten gewisser Formen, und daß letztere der Reihe nach hingeschrieben werden können. Desgleichen erscheinen bei 2) die Lösungen als die Invarianten algebraischer Formen. Auch im Falle 3) ließen sich die Parameter durch algebraische Invarianten ausdrücken, aber für die Bestimmung der Gaußschen Invarianten schlägt man besser einen direkten Weg ein. Behufs Lösung des Problems 1) zerlege man es in zwei Unterprobleme. Es seien \(u_1, \dots, u_m\) Variabeln, die als krummlinige Koordinaten eines \(R_m\) gedeutet werden. Ist dann \(ds^2 \equiv \varSigma \varSigma a_{rs} du_r du_s\) das Quadrat des Linienelementes, so sollen die \(x_1, \dots, x_m\) als Funktionen der \(u\) so bestimmt werden, daß \(ds^2=dx_1^2+ \cdots + dx_m^2\). Versteht man unter den \(x_1, \dots, x_m\) eine erste Lösung, so erhält man ersichtlich die allgemeinste Lösung, wenn man die \(x\) einer allgemeinen orthogonalen Transformation \(O\) und einer Translation \(T\) unterwirft.
Irgend eine Invariante der in Rede stehenden Art ist eine Funktion der \(x\) und ihrer Ableitungen; diese muß gegenüber den allgemeinsten \(O\) und \(T\) ungeändert bleiben. Man hat also die beiden Unterprobleme: (A) Die Bestimmung aller Invarianten gegenüber einer allgemeinen Transformation der \(u\) unter der Bedingung, daß die \(x\) invariant sind; (B) die Auswahl derjenigen dieser Funktionen, die sich gegenüber einer allgemeinen, auf die \(x\) ausgeübten \(O\) und \(T\) invariant verhalten.
Die Aufgabe (A) verlangt die Bestimmung aller Invarianten \(F\) irgend einer Anzahl von Funktionen \(f_1, \dots, f_r\) der \(u\); hierbei treten in die Invarianten als Variabeln ein: 1. alle möglichen Ableitungen der \(f\), 2. die \(u\), 3. die ersten, zweiten, \(\dots\) Differentiale der \(u\). Es genügt, \(r \leqq m\) zu zu nehmen. Ist \(F'\) die Transformierte von \(F\), \(\varOmega\) die Jacobiana (Funktionaldeterminante) der Transformation und \(\mu\) eine Zahl, so soll \(F'=\varOmega^\mu F\) werden. Durch irgend eine infinitesimale Transformation der vorgelegten Gruppe erleidet \(F\) die Änderung \[ \text{(I)} \quad \frac{dF}{dt}=\mu \left\{\sum_1^m\;\frac{\partial \xi_r}{\partial u_r} \right\} F, \quad {\text{wo}} \quad \xi_r=\frac{du_r}{dt}\,. \] Da aber die Gruppe die allgemeinste in den \(u\) sein soll, sind die \(\xi\) als willkürliche Funktionen anzusehen. Dadurch zerfällt (I) in ein “vollständiges” System von Gleichungen, und die Anzahl der funktional unabhängigen Lösungen beträgt \(M-N\), wenn \(M\) die Anzahl der Variabeln und \(N\) die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen angibt. Um dies Gleichungssystem zu erhalten, verschaffe man sich nur die Inkremente der Variabeln in \(F\). Hierbei wird der Begriff der Ordnung \(n\) einer Invariante eingeführt: die Inkremente der Variabeln dürfen dann höchstens die \(n\)-ten Ableitungen der \(\xi\) enthalten. Zwei Invarianten derselben Ordnung \(n\) heißen unabhängig, wenn sich die eine nicht durch die andere und durch Invarianten kleinerer Ordnung ausdrücken läßt. Nimmt man bereits die Invarianten bis zur Ordnung \(n-1\) als bekannt an, so bestehen diejenigen bis zur Ordnung \(n\) aus den ersteren und einer gewissen Anzahl unabhängiger Invarianten der Ordnung \(n\). Ist \(F\) eine Invariante der Ordnung \(n\), so hat \(F\) denjenigen Gleichungen (II) zu genügen, die aus (I) durch Nullsetzen der Koeffizienten je von den ersten, zweiten, \(\dots\), \(n\)-ten Ableitungen der \(\xi\) hervorgehen.
Offenbar sind die \(n\)-ten totalen Differentiale der \(f\) \(m\) unabhängige Lösungen von (II), und man kann hieraus alle Lösungen von (II) herleiten. Man erhält das vollständige System von Invarianten \(d^\lambda f_\mu (\lambda=2, \dots,n;\;\mu= 1, 2, \dots, m)\), zusammen mit den Lösungen der Gleichungen, die die Invarianten der ersten Ordnung liefern; diese bestehen aber aus den ersten Differentialen der \(f\) nebst der Jacobiana \(J\) der \(f\) bezüglich der \(u\). Alle diese Invarianten sind funktional unabhängig und absolute Invarianten, mit Ausnahem von \(J\), das eine relative Invariante (mit \(\mu=-1\)) darstellt. Die allgemeinste Invariante der \(f\) ist somit eine Funktion der \(f\) und jener absoluten Invarianten, noch mit irgend einer Potenz von \(J\) multipliziert. Nunmehr lassen sich alle Invarianten eines (gewöhnlichen) \(R_m\) ermitteln. Die in Betracht kommenden Funktionen sind \(f_1, \dots, f_m, x_1, \dots, x_m\). Die Invarianten müssen Funktionen der \(x\) und ihrer Differentiale (bis zur \(n\)-ten Ordnung), sowie irgend welcher der \(f_1, \dots, f_m\) und ihrer Ableitungen sein; sie müssen überdies bei den allgemeinsten Transformationen \(T\) und \(O\) invariant sein. Es wird dieselbe Methode eingeschlagen wie oben. Bedeuten \(X_1, \dots, X_m\) Variabeln, so leite man aus irgend einer der Formen \(f_k(k=1, \dots, m)\) die algebraische Form \(n\)-ter Ordnung her: \[ A_{nk} \equiv \left\{ \sum_1^m\, X_i\;\frac{\partial}{\partial x_i} \right\}^n f_k(x_1, \dots, x_m). \] So entsteht ein System von \(mn\) Formen \(A_{rk}\) \((r=1, \dots, n)\). Dann lautet das Ergebnis: Die funktional unabhängigen Invarianten des \(R_m\) bis zur Ordnung \(n\) inkl. bestehen aus \(J\), den orthogonalen algebraischen Invarianten der \(A_{rk}\) und der Linearform \(\sum_1^m d^r x_i X_i (r=1, 2, \dots, n)\). Die allgemeinste Invariante des \(R_m\) ist dann eine Funktion der \(f_k\) und der obigen algebraischen Invarianten, noch multipliziert mit einer Potenz von \(J\).
Man kann übrigens jene Linearform entbehren, wenn die invarianten Größen \(d^\lambda f_\varrho (\lambda=1, \dots, n;\;\varrho=1, \dots, m)\) adjungiert werden. Eine leichte Modifikation erhält sodann das Ergebnis, wenn die quadratische Form \(\sum_1^m X_i\) mit eingeschlossen wird.
Nunmehr wendet sich der Verf. zu irgend einer im \(R_m\) enthaltenen linearen Mannigfaltigkeit \(M_r\). Hier sind zwei Typen von Invarianten zu unterschieden. Die ersteren entsprechenden Transformationen, die die “Gestalt” der \(M_r\) ungeändert lassen, d. h. alle Abstände in der \(M_r\), insofern sie durch der \(R_m\) hindurch gemessen werden. Eine Unterklasse dieser Invarianten ist die der “Deformationsinvarianten” gegenüber Transformationen, die jede innerhalb der \(M_r\) selbst gemessene Länge fest lassen. Ist die \(M_r\) gegeben durch \(u_{r+\lambda}=0(\lambda=1, \dots, m-r)\), so ist die erste Invariantenklasse in der allgemeinen des \(R_m\) enthalten; man hat nur die Variabeln \(u_{r+\lambda}\) als \(m-r\) der Funktionen \(f\) aufzufassen, so daß \(du_{r+\lambda}=0, \dots, d^n u_{r+\lambda}=0\). Hierbei gelangt man zur direkten Verallgemeinerung der Forsythschen “Fundamentalgrößen” der Ordnung \(q\) im \(R_3\). Am Schlusse wird wiederum ein vollständiges System algebraisch unabhängiger Differentialinvarianten der \(M_r\) zusammengestellt.
Endlich wird noch das dritte Hauptproblem (III) erledigt. Hierbei findet ein großer Teil der oben gefundenen Resultate unmittelbare Verwendung.
Die zu der allgemeinsten Transformation der \(u\) gehörigen Invarianten enthalten als Variabeln einmal die \(u\) und deren Ableitungen nach den \(\alpha\), wo die \(\alpha\) gewisse neu eingeführte invariante Variabeln sind, andererseits die \(a\) und deren Ableitungen nach den \(u\), unter der Bedingung, daß die quadratische Form für \(ds^2\) invariant bleibt. Man erkennt sofort, daß \(\sum_{h=1}^r \sum_{k=1}^r a_{hk} \,\frac{\partial u_h}{\partial \alpha_\lambda}\, \frac{\partial u_k}{\partial \alpha_\mu} (\lambda, \mu=1, \dots, r)\) eine absolute Invariante ist, und daß jede absolute Invariante \(H\) die weiteren \(\frac{\partial H}{\partial \alpha}\) nach sich zieht. Diese beiden Sätze führen zu einem vollständigen System der in Rede stehenden Invarianten.
Man vergleiche das vorangehende Referat über die Abhandlung “On differential invariants” desselben Verf. (JFM 36.0176.04).

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