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On finite algebras. (English) JFM 36.0138.03
Nachdem die Theorie der “endlichen Körper” (finite field), d. h. der endlichen Größensysteme, die denselben Gesetzen gehorchen wie die komplexen Zahlen, soweit sie nicht durch die endliche Anzahl der Elemente ausgeschlossen sind, eine genaue Durchbildung erfahren hat (vgl. L. E. Dickson, Linear Groups, Leipzig 1901), und nachdem Wedderburn (Amer. Math. Soc. Trans. 6, 349-352, vgl. das folgende Referat (JFM 36.0139.01)) gezeigt hat, daß für endliche Größensysteme das kommutative Gesetz der Multiplikation eine notwendige Folge der übrigen Axiome ist, daß also ein Analogon zu Hamiltons Quaternionen nicht existiert, nimmt der Verf. die Aufgabe in Angriff, alle “Algebren” aufzustellen, die sich von den endlichen Körpern dadurch unterscheiden, daß entweder das kommutative Gesetz der Multiplikation zugleich mit dem distributiven Gesetz linker Hand oder das assoziative Gesetz der Multiplikation nicht gilt. In beiden Fällen muß, wie bei den endlichen Körpern, die Anzahl der Elemente des Größensystems eine Primzahlpotenz \(p^n\) sein. Eine Algebra der erstgenannten Art ist dann und nur dann vorhanden, wenn \(p^n-1\) und \(n\) nicht teilerfremd sind. Jedoch gelingt eine erschöpfende Aufstellung aller dieser “nicht-kommutativen” Algebren nur für diejenigen Werte von \(n\) und \(p\), für die \(n\) ungerade ist und überdies ein gewisser Satz über die Existenz einer invarianten Untergruppe in einer abstrakten Gruppe der Ordnung \(p^n-1\) gilt.
Ein wesentliches Mittel zur Konstruktion solcher Algebren besteht darin, daß in Systemen hyperkomplexer Zahlen den Parametern anstatt aller reellen oder aller komplexen Zahlenwerte alle Werte eines endlichen Körpers (Galoisschen Körpers) erteilt werden, und daß die Koeffizienten der Differentialgleichungen des Zahlsystems noch in einfacher Abhängigkeit von den Parametern angenommen werden.

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Full Text: EuDML