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On Hilbert’s independence theorem in the theory of maxima and minima of simple integrals. (Über den Hilbertschen Unabhängigkeitssatz in der Theorie des Maximums und Minimums der einfachen Integrale.) (German) JFM 34.0398.01

Leipz. Ber. 55, 131-145; Math. Ann. 58, 235-248 (1904).
Der für das einfachste Problem der Variationsrechnung gültige Hilbertsche Unabhängigkeitssatz wird auf das allgemeinere Problem ausgedehnt: Unter allen Funktionen \(y_1,\dots,y_n\) von \(x\), welche \(r<n\) gegebenen, in bezug auf die Differentialquotienten \(y_1',\dots,y_n'\) voneinander unabhängigen Bedingungsgleichungen \[ f_\varrho (x_1y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')=0 \quad (\varrho=1,2,\dots,r) \] genügen, an beiden Grenzen \(x_0\) und \(x_1>x_0\) feste Werte besitzen und zwischen diesen Grenzen mit ihren ersten Differentialquotienten stetig bleiben, diejenigen zu finden, welche das Integral \[ \int_{x_0}^{x_1} f(x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n')dx \] zu einem Extremum machen.
Der betreffende Satz bietet sich von selbst dar, wenn man nach der Methode von Clebsch die Differentialgleichungen des Problems durch vollständige Lösung ihrer Hamilton-Jacobischen partiellen Differentialgleichung integriert; diese Integrationsmethode wird zunächst abgeleitet, da die bisher gegebenen Begründungen einen wesentlichen Punkt nicht deutlich genug hervortreten lassen. Dann wird der enge Zusammenhang zwischen der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung und dem Unabhängigkeitssatze dargelegt und für letzteren schließlich folgende allgemeine Fassung gegeben:
“Hat man von den, mit der Funktion \[ \varOmega=f(x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n') + \sum_{\varrho=1}^{\varrho=r} \lambda_\varrho f_\varrho (x,y_1,\dots,y_n,y_1',\dots,y_n') \] gebildeten \(n + r\) Differentialgleichungen \[ \frac{d}{dx}\;\frac{\partial \varOmega}{\partial y_i'} = \frac{\partial \varOmega}{\partial y_i},\quad f_\varrho=0 \quad (i=1,2,\dots,n;\;\varrho=1,2,\dots,r) \] irgend ein System vollständiger Lösungen \[ y_i=\theta_i (x,c_1,\dots,c_{2n}),\quad \lambda_\varrho=X_\varrho (x,c_1,\dots,c_{2n}) \] gefunden, so bestimme man aus den \(n\) Gleichungen \[ \theta_i(x_0,c_1,\dots,c_{2n})=y_{i0} \] \(n\) von den \(2n\) Integrationskonstanten \(c_1,\dots,c_{2n}\) durch die \(n\) übrigen. Gehen durch Einsetzung der Auflösungen die vollständigen Lösungen über in die (bei fest gegebenen \(x_0,y_{10},\dots,y_{n0}\)) partikularen Lösungen mit nur noch \(n\) willkürlichen Konstanten \[ y_i=Y_i(x,c_1,\dots,c_n),\quad \lambda_\varrho=L_\varrho(x,c_1,\dots,c_n), \] so braucht man nur mit Hülfe der \(n\) ersten dieser letzten Gleichungen diese Konstanten aus den \(n + r\) Gleichungen \[ y_i'=\frac{\partial Y_i}{\partial x},\quad \lambda_\varrho=L_\varrho \] zu eliminieren, und in den rechten Seiten der so entstehenden Gleichungen \[ (\alpha)\qquad y'=p_i,\quad \lambda_\varrho=\mu_\varrho \] solche Funktionen von \(x,y_1,\dots,y_n\) gewonnen zu haben, welche den Ausdruck \[ \overline{f} + \sum_{h=1}^{h=n} (y_h'-p_h) \frac{\partial \overline{\varOmega}}{\partial p_h} \] zu einem vollständigen Differentialquotienten machen und überdies den \(r\) Gleichungen \[ \overline{f}_\varrho=0 \] identisch genügen.” \(\overline{\varOmega},\overline{f},\overline{f}_\varrho\) bezeichnen die Funktionen, welche aus \(\varOmega,f,f_\varrho\) durch die Substitutionen \(\alpha\) entstehen.

MSC:

49K15 Optimality conditions for problems involving ordinary differential equations
Full Text: EuDML