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Invariants of differential quantics. (English) JFM 34.0141.02
Chicago: University Press. 14 S. \(4^{\circ}.\) (1903).
(Siehe auch JFM 34.0141.02) Die quadratische Differentialform \(A=\sum a_{ik} d x_i dx_k\) in den Variabeln \(x_1, x_2, \dots, x_n\) gehe durch die Transformation \(x_i=x_i(y_1, y_2, \dots, y_n)\), über in \(A'=\sum a_{ik}' dy_i dy_k\). Hierbei sind die \(dx_i\) mit den \(dy_i\) linear verknüpft durch die Relationen \(dx_i=\sum_k \frac{\partial x_i}{\partial y_k}\,dy_k\). Irgend eine Funktion \(F\) der \(a_{ik}\) und ihrer Ableitungen, sowie irgend welcher willkürlichen Funktionen \(u, v,\dots\) der \(x\) und ihrer Ableitungen heißt ein “ invarianter Ausdruck” von \(A\), wenn sie sich für die transformierten \(a_{ik}', u', v', \dots\) gebildet, nicht ändert; hängt \(F\) von den \(u, v, \dots\) gar nicht ab, so wird \(F\) eine “eigentliche Invariante” genannt, andernfalls ein “Differentialparameter”.
Man erhält leicht den wichtigen Satz, daß die mit \(\beta=|a_{ik}|^{-\frac{1}{2}}\) multiplizierte Funktionaldeterminante von \(n\) invarianten Ausdrücken \(F\) wiederum ein solcher ist. Eine solche mit \(\beta\) multiplizierte Funktionaldeterminante werde kurz mit \((F)\) bezeichnet und eine “invariantive Konstituente” genannt.
Nunmehr wird die symbolische Methode eingeführt. Man setze \(f_i f_k=a_{ik}\), so nimmt \(A\) die Gestalt \((\sum f_i dx_i)^2\) an, so daß \(\sum f_i dx_i\) als das vollständige Differential einer (symbolischen) Funktion erscheint. Für Ausdrücke von höherer als der ersten Dimension in den \(a_{ik}\) bedarf es mehrerer Symbole \(f, \varphi, \dots\). Mit Hülfe der Konstituenten lassen sich leicht beliebig viele formale Invarianten bilden, die nur gewisse kombinatorische Bedingungen erfüllen müssen, um auch reelle Invarianten zu liefern. Entsprechend gelangt man auch zu Kovarianten, z. B. ist das vollständige Differential eines invarianten Ausdrucks einer lineare Kovariante.
Die einfachste Invariante nächst \(\beta\) ist \((f)^2\), die aber eine Zahl \(=n!\) ist. Ist weiter \(u\) eine willkürliche Funktion, so wird \[ (uf)^2=(n-1)! \triangle^1 u, \] wo \(\triangle_1 u\) der bekannte erste Differentialparameter von \(u\) ist; analog wird \((uf) (vf) (n - 1)! \triangle (u, v)\), wo \(\triangle (u, v)\) der Zwischenparameter von u, v ist etc.
Das Christoffelsche Dreiindexsymbol \[ {k l \choose i}=\tfrac{1}{2}\left( \frac{\partial a_{ik}}{\partial x_l}+\frac{\partial a_{il}}{\partial x_k}-\frac{\partial a_{kl}}{\partial x_i}\right) \] stellt sich symbolisch einfach durch \(f_i f_{kl}\) dar.
Geht man zu den erweiterten Symbolen \(f_{i m} f_{k l}+f_i f_{klm}={kl \choose i}_m\) über, so gelangt man auf Grund von \(((uf), f) = (n - 1)! \triangle_2 u\) zum zweiten Differentialparameter \(\triangle_2 u\) von \(u\).
Es wird nunmehr, wie in der Algebra, eine Reihe grundlegender Identitäten zwischen symbolischen Identitäten entwickelt. So z. B. ergibt sich aus der obigen Formel \((f)^2=n!\) durch Differentiation nach \(x_i\): \[ (f)(f)_i=0. \]
Die Koeffizienten der quadratischen Kovariante \[ (fa) f_x(ua)_x=\sum_{i, k} (fa) f_i (ua)_k dx_i dx_k \] sind nichts anderes als die “zweiten kovarianten Ableitungen” von \(u\). Der Beweis beruht auf der symbolischen Darstellung der “Dreiindexsymbole zweiter Art”\({ik \choose l}=\beta^2 \sum_m A_{lm}{ik \choose m}\). Ferner wird der Begriff der “kovarianten Differentiation” eingeführt. Die erste solche deckt sich mit der gewöhnlichen Differentiation: \(x^{(\lambda)}=x_{\lambda}\); die zweite wird definiert durch \[ x_i^{(k)}=x^{(ik)}=x_{ik}-\frac{1}{(n-1)!}\;f_{ik}(fa)(xa) =\frac {1}{(n-1)!}\;f_i(xa)_k (f_a). \] Geht man zur dritten Differentiation über, so existieren bereits zahlreiche Relationen, die sie mit den beiden ersten verknüpfen. Sodann wird noch eine quadrilineare Kovariante untersucht, die in engster Beziehung zu dem von Riemann und Christoffel eingeführten “Vierindexsymbol” steht, sowie noch einige höhere Kovarianten.
Das Ganze läßt die ungemeine Fruchtbarkeit der symbolischen Methode erkennen.