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Aus Johann Bolyais Nachlaß. Untersuchungen aus der absoluten Geometrie. (German) JFM 33.0488.05
Es handelt sich um Aufzeichnungen, die J. Bolyai nach dem Erscheinen seines Appendix, zum Teil erst in seinen letzten Lebensjahren gemacht hat. Leider war Johanns Schwungkraft damals schon erlahmt, und er ist über skizzenhafte Aufzeichnungen und großartige Entwürfe nicht hinausgekommen; deshalb ist auch die Auslese aus seinem Nachlaß nicht allzu groß. Drei Fragen werden in der vorliegenden Arbeit nach den von J. Bolyai gemachten Aufzeichnungen erörtert. Erstens der Zusammenhang zwischen der sphärischen und der absoluten (Lobatschefskij-Bolyaischen) Geometrie, den Lobatschefskij, wie es scheint, nur äußerlich, durch den bekannten Übergang von den trigonometrischen Formeln der einen Geometrie zu denen der andern hergestellt hat, während J. Bolyai, dem die Abstandsfläche (Hypersphäre) als eine der drei Arten von Kugeln im Raume seiner absoluten Geometrie vollständig vertraut war, und der auch über das Wesen der imaginären Zahlen sehr gründlich nachgedacht hatte, den inneren Grund dieses Zusammenhangs wirklich aufdeckt. Zweitens handelt es sich um die Frage der Unbeweisbarkeit des 11. Euklidischen Axioms, auf die zurückkommen zu wollen J. Bolyai am Schlusse des Appendix verspricht. Leider haben sich von dem Beweise für die Unbeweisbarkeit, den Johann damals besessen haben muß, nur Bruchstücke vorgefunden. Dagegen aber sind lange Rechnungen erhalten, in denen Johann untersucht, ob nicht die Anwendung der Formeln der ebenen Trigonometrie auf die durch 4 oder 5 Punkte bestimmte räumliche Figur zu einem Widerspruche und damit zu einem Beweise des 11. Axioms führt. Während er bei 4 und 5 Punkten sich wirklich überzeugt hatte, daß kein Widerspruch vorliegt, hielt ihn die Mühseligkeit der erforderlichen Rechnungen ab, die Figur von 6 und mehr Punkten ebenso zu untersuchen, und er ist also niemals zur Gewißheit gekommen, ob sich nicht auf diesem Wege doch noch ein Widerspruch herausstellen könnte. Endlich wird drittens über die vier verschiedenen Methoden berichtet, die Johann zur Kubierung des Tetraeders angewendet hat, und es werden die von ihm aufgestellten Formeln mitgeteilt. Die eine dieser vier Methoden stimmt im wesentlichen mit der von Lobatschefskij entwickelten überein, die andre mit der, die sich in Aufzeichnungen von Gauß (Werke Bd. VIII) gefunden hat.

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