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Zur Theorie der Integralgleichung \(A (s, t) - {\mathbf A} (s,t) = \mu \int_0^1 A(s,r) {\mathbf A} (r, t) dr\). (German) JFM 33.0312.03
Die Vergleichung der Neumannschen Lösung der obigen Integralgleichung \[ {\mathbf A} (s,t)= {\mathbf A}_0+{\mathbf A}_1\mu + {\mathbf A}_2 \mu^2 + \cdots, \] wo \[ {\mathbf A}_h(s, t)=(-1)^h \int_{\overset {0} {(h)} }^1 A(s, s_1) A(s_1, s_2) \dots A(s_{h-1}, s_h)A(s_h, t) ds_2 \dots ds_h, \] \[ {\mathbf A}_0(s, t) = A (s, t), \] mit der Fredholmschen Lösung \[ {\mathbf A} (s, t) = \frac {\varGamma_0 + \varGamma_1 \mu + \varGamma_2 \mu^2 + \cdots }{1 + d_1\mu + d_2 \mu^2 + \cdots } \] (Zähler und Nenner ganze transzendente Funktionen), wobei \[ d_h = \frac 1{h!} \int_{\overset {0} {(h)}}^1 \left| \begin{matrix} A(s_1, s_1) & \dots & A(s_1, s_h) \\ \hdotsfor3\\ A(s_h, s_1) & \dots & A(s_h, s_h) \end{matrix} \right| ds_1 \dots ds_h, \] \[ \varGamma_h = \frac 1{h!} \int_{\overset {0} {(h)}}^1 \left| \begin{matrix} A(s_1, s_1) & \dots & A(s_1, s_h) & A(s_1, t) \\ \hdotsfor4\\ A(s_h, s_1) & \dots & A(s_h, s_h) & A(s_h, t) \\ A(s, s_1) & \dots & A(s, s_h) & A(s, t) \\ \end{matrix} \right| ds_1 \dots ds_h, \] ist, liefert \[ \varGamma_h = {\mathbf A}_h + {\mathbf A}_{h-1} d_1 + {\mathbf A}_{h-2} d_2 + \cdot s + {\mathbf A}_0 d_h \quad (h = 1, 2, \dots). \] Diese Formel wird direkt verifiziert, womit ein neuer Beweis der Fredholmschen Formel erbracht ist.
Reviewer: G. K.

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