×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur un problème de mécanique. (French) JFM 32.0725.02
In einer Abhandlung des Liouvilleschen Journals hat Bertrand 1857 das folgende Problem behandelt. Die Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes seien \(x''=X\), \(y''=Y\), wo die Akzente Differentiationen nach der Zeit bezeichnen, \(X\) und \(Y\) nur von \(x,y\) abhängen; ferner sei ein Integral der Gleichungen von der Form: \[ Px'^2 + Qx'y' + Ry'^2 + Sy' + Tx' + K \] und \(P,Q,R,S,T,K\) ebenfalls beliebige Funktionen von \(x\) und \(y\) allein. Ist endlich noch \(X =\partial V/ \partial x\), \(Y= \partial V/\partial y\), so genügt, wie Bertrand gefunden hat, die Funktion \(V\) einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Gegenwärtig zeigt Darboux, daß und wie diese partielle Differentialgleichung allgemein integriert werden kann. In den neuen Variabeln \(\alpha, \beta\) erscheint \(V\) von der Form \(V= \frac{f(\alpha) - f(\beta)}{\alpha^2 - \beta^2}\); als ein besonderer Fall ist nach einer Bemerkung von Liouville zu erwähnten: \[ V= \frac{A}{x^2} + \frac{A'}{y^2} + \frac Br + \frac{B'}{r'} + \frac{B_1}{r_1} + \frac{B_1'}{r_1'} + C\varrho^2, \] wo \(A, A', B, B', B_1, B_1', C\) Konstanten bedeuten, ferner \(r, r', r_1, r_1'\) die Abstände des Punktes von den reellen und imaginären Brennpunkten einer Ellipse, \(\varrho\) die Entfernung vom Zentrum derselben.

PDF BibTeX XML Cite