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On the number of Riemann surfaces with given ramification points. (Über die Anzahl der Riemannschen Flächen mit gegebenen Verzweigungspunkten.) (German) JFM 32.0404.04
In einer früheren Arbeit (Math. Ann. 39, 1; vgl. F. d. M. 23, 429, 1891, JFM 23.0429.01) hatte der Verf. die Frage nach der Anzahl der \(n\)-blättrigen Riemannschen Flächen mit \(w\) gegebenen einfachen Verzweigungspunkten zurückgeführt auf die Aufgabe, auf wie viel Arten die identische Substitution aus \(w\) Transpositionen von \(n\) Elementen zusammengesetzt werden kann; für diese letztere Anzahl \(f(w | n)\) hatte sich aber ergeben: \[ \frac{1}{n!}\;f(w | n) = A_1 B_1^w + A_2 B_2^w + \cdots + A_k B_k^w, \] wobei die Zahlen \(A_1, A_2, \dots, A_k,\; B_1, B_2, \dots, B_k\) nicht mehr von \(w\), sondern nur von \(n\) abhängen und die Bildungsweise der Zahlen \(B_1, B_2, \dots, B_k\) sich angeben ließ, nicht aber die der Zahlen \(A_1, A_2, \dots, A_k\).
In der gegenwärtigen Abhandlung bestimmt der Verf. die obige Anzahl auf Grund der von Frobenius geschaffenen Theorie der Gruppencharaktere vollständig; er findet nämlich \[ A_x = \left( \frac{\varDelta (x_1, x_2, \dots, x_n)}{x_1 ! x_2 ! \dots x_n !} \right)^2, \quad B_x = \sum_{i=1}^n \frac{x_i (x_i -1)}{2} - \tfrac 16 n(n-1) (n+4), \] worin \(x_1, x_2, \dots, x_n\) eine der \(k\) Lösungen der Gleichung \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = \tfrac 12\, n(n+1) \] in nicht negativen ganzen Zahlen und \(\varDelta\) das Differenzenprodukt der beigeschriebenen Argumente bedeutet. Die erzeugende Funktion \[ F_n (u) = \sum_{w=0}^{\infty} \frac{f(w | n)}{n!}\;\frac{u^w}{w!} \] ist also eine Summe von Exponentialgrößen: \[ F_n(u) = A_1 e^{B_1 u} + A_2 e^{B_2 u} + \cdots + A_k e^{B_k u}. \] Aus diesem Resultate läßt sich sodann die Anzahl \(R(w| n)\) der \(n\)-blättrigen Riemannschen Flächen mit \(w\) gegebenen einfachen Verzweigungspunkten herleiten. Bezeichnet man nämlich mit \(\varphi(w | n)\), wie viele unter den obigen \(f(w | n)\) Transpositionsgruppen sämtliche \(n\) Elemente mit einander in Verbindung setzen, und bildet für diese Anzahl die erzeugende Funktion: \[ \varPhi_n (u) = \sum_{w=2}^{\infty}\;\frac{\varphi (w| n)}{n!}\;\frac{u^w}{w!}\,, \] so steht diese mit der vorigen in der Beziehung \[ \varPhi_n (u) = \sum_{r=1}^\infty \frac{(-1)^{r-1}}{r} \sum_{n_1, n_2, \dots, n_r} F_{n_1} (u) F_{n_2} (u) \dots F_{n_r} (u), \] wobei die innere Summation über alle Lösungen der Gleichung \[ n_1 + n_2 + \cdots + n_r =n \] in positiven ganzen Zahlen zu erstrecken ist. Es ist auch \(\varPhi_n (u)\) ein Aggregat einer endlichen Anzahl von Exponentialgrößen: \[ \varPhi_n (u) = \varSigma Ce^{bu}, \] wo \(C\) rational und \(b\) ganzzahlig ist; hat man diese Darstellung gewonnen, so ist \[ R(w | n) = \varSigma C b^w \] die gesuchte Anzahl Riemannscher Flächen.

MSC:
30F10 Compact Riemann surfaces and uniformization
20C30 Representations of finite symmetric groups
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References:
[1] Diese Annalen Bd. 39, S. 1 (1891). Im Folgenden mit R. citirt.
[2] ?Ueber Gruppencharaktere?, Sitzungsberichte der kgl. preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1896, S. 985. ?Ueber die Primfactoren der Gruppendeterminante?. Ebenda, S. 1343. ?Ueber die Charaktere der symmetrischen Gruppe?. Ebenda Jahrgang 1900, S. 516. Diese Abhandlungen werde ich mit F. I., F. II. und F. III. bezüglich citiren.
[3] Der innere Zusammenhang der bezüglichen Ueberlegungen in meiner Arbeit R. mit F. III zeigt sich darin, dass Herr Frobenius dieselben Untergruppen der symmetrischen Gruppe bei der Bestimmung der Charaktere der letzteren zu Hülfe zieht, welche bei mir a. a. O. vorkommen.
[4] S. R. § 4. · Zbl 1316.01022
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