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Linear groups with an exposition of the Galois field theory. (German) JFM 32.0128.01

Leipzig: B. G. Teubner. X + 312 S. \(8^{\circ}\). (Teubners Sammlung No. VI.) (1901).
Die Gesamtheit aller linearen homogenen Substitutionen von nicht verschwindender Determinante bildet eine Gruppe; diese Gruppeneigenschaft bleibt aber auch noch erhalten, wenn die Koeffizienten aller Substitutionen ausnahmslos einem bestimmten Körper oder Felde angehören müssen, d. h. einem gegenüber den vier Grundoperationen in sich abgeschlossenen System von Elementen entnommen werden. Es ist besonders beachtenswert, daßes auch endliche Körper oder Felder gibt, d. h. solche, die nur aus einer endlichen Anzahl von Elementen bestehen. Die Theorie dieser endlichen Felder beherrschen wir nach einem Satze von E. H. Moore (F. d. M. 27, 104, 1896, JFM 27.0104.01) vollkommen. Es existieren nur endliche Körper mit \(p^n\) Elementen, wobei \(p\) eine Primzahl ist. Ein jedes solches endliche Feld läßt sich mit den \(p^n\) Elementen eines Galoischen Feldes, \(GF[p^n]\), den Galoisschen Imaginären, die durch die Primzahl \(p\) und eine ganze, ganzzahlige, mod.\(p\) irreduzible Funktion \(n\)ten Grades festgelegt werden, in eineindeutigen Zusammenhang bringen. Ich habe bei meiner Besprechung von Dicksons Werk im Archiv der Math. u. Physik darauf hingewiesen, daßman anstatt des \(GF[p^n]\) auch die \(p^n\), nach einem Primideal \({\mathfrak p}\) \(n\)ten Grades mit der Norm \(p^n\) inkongruenten, ganzen Zahlen des Körpers \(k\), dem das Primideal \({\mathfrak p}\) angehört, als Repräsentanten eines jeden beliebigen endlichen Körpers mit \(p^n\) Elementen verwerten kann.
Während die Gruppen linearer homogener Substitutionen bei Beschränkung der Koeffizienten auf einen vorgegebenen unendlichen Körper, der nicht alle reellen und komplexen Zahlen umfaßt, noch sehr wenig untersucht sind, beginnt die Behandlung von Gruppen linearer homogener Substitutionen mit Koeffizienten aus dem heute wohl nach Moore so bezeichneten \(GF[p^n]\) bereits mit Galois, dem wir auch die seinen Namen tragenden Imaginären verdanken. Die älteren diesbezüglichen Untersuchungen beziehen sich, so auch in C. Jordans Traité des substitutions et des equations algebriques (1870), trotz Galois’ Worten: “C’est surtout dans la théorie des permutations que la considération racines imaginaires des congruences paraît indispensable” (Oeuvres de Galois, p. 21) wie in Galois’ berühmtem Brief fast ausschließlich auf \(n = 1\), d. h. die Substitutionskoeffizienten sind die \(p\) verschiedenen ganzen Zahlen, welche nach einer Primzahl \(p\) incongruent sind. Weitergehende ältere Untersuchungen gruppentheoretischer Art für das \(GF[p^n]\) stammen wohl nur von Mathieu (vergl. Encyklopädie I, 215, Anm. 57). 1893 und 1894 beschäftigten sich Moore und Burnside (F. d. M. 27, 104, 1896 und 25, 203-204, 1893/94, siehe JFM 27.0104.01, JFM 25.0203.02 und JFM 25.0204.01) eingehend mit der Gruppe der linear gebrochenen Substitutionen \(z'= \frac{az+b}{cz +d} (ad - bc \neq 0)\), wobei \(a,b,c,d\) dem \(GF[p^n]\) angehören. Moores Aufsatz scheint den Verf. die Bedeutung des \(GF[p^n]\) für die Gruppentheorie erkennen gelehrt und ihn zu seinen zahlreichen Arbeiten über die lineare homogene Substitutionsgruppe: \[ z_i = \sum_{s=1}^{s=m} a_{is} z_s' \qquad (i= 1, 2,\dots, m) \] mit Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) und über ihre Untergruppen veranlaßt zu haben. In dem vorliegenden Werke gibt Dickson eine zusammenfassende Darstellung unseres gesamten Wissens auf dem fraglichen Gebiet, das vorzüglich unsere Kenntnisse von Systemen einfacher Gruppen vermehrt hat. Der erste einleitende Teil des Werkes (S. 1-71) setzt den besprochenen Mooreschen Fundamentalsatz sowie die Theorie des Galoisschen Feldes auseinander, der zweite Teil behandelt die linearen Gruppen mit Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\). Der Inhalt dieses zweiten Teiles ist vielfach den Arbeiten des Verf., die mit seiner 1897 erschienenen Dissertation ihren Anfang nehmen und den Lesern der Fortschritte bekannt sind, entlehnt; die Beweise sind allerdings häufig gegen die Originalarbeiten vereinfacht. Bei Besprechung von vorjährigen und diesjährigen Arbeiten des Verf. habe ich auch bereits darauf hingewiesen, daßsie in das vorliegende Werk übergegangen sind. Eine eingehende Inhaltsangabe wird daher an diesem Platze nicht mehr erforderlich sein. Ich darf mir noch erlauben, auf G. A. Millers Artikel “Dickson’s linear groups” im American M. S. Bull. 9, 165, 1902 und auf meine schon erwähnte Besprechung im Archiv der Math. und Physik (3) 4, 333-336 hinzuweisen; zur Orientierung des Inhalts lasse ich unten die Titel der Kapitel folgen. Die Darstellung ist gewandt und klar; spezielle Vorkenntnisse sind zur Lektüre des Werkes nicht erforderlich, wohl aber wird eine gewisse mathematische Reife verlangt.
I. Teil: Einführung in das Galoissche Feld. Definition und Eigenschaften endlicher Felder. Beweis der Existenz des \(GF[p^m]\) für jede Primzahl \(p\) und jedes ganzzahlige \(m\). Klassifikation uud Bestimmung irreduzibler Größen. Verschiedene Eigenschaften Galoisscher Felder. Analytische Darstellung von Substitutionen durch die Elemente des Galoisschen Feldes. II. Teil. Theorie der linearen Gruppen im Galoisschen Felde. Allgemeine lineare homogene Gruppe. Die Abelsche lineare Gruppe. Eine Verallgemeinerung der Abelschen linearen Gruppe. Die hyperabelsche Gruppe. Die hyperorthogonale und verwandte linearen Gruppen. Die komponierten Gruppen einer linearen homogenen Gruppe. Lineare homogene Gruppen im \(GF[p^n]\), \(p>2\), die durch eine quadratische Invariante definirt sind. Lineare homogene Gruppen im \(GF[2^n]\), die durch eine quadratische Invariante definirt sind. Lineare Gruppen mit Invarianten vom Grade \(q>2\). Kanonische Formen und Einteilung der linearen Substitutionen. Elemente und zyklische Untergruppen der einfachen Gruppe \(LF(3,p^n)\). Untergruppen der linear gebrochenen Gruppe \(LF(2,p^n)\). Hülfstheoreme über abstrakte Gruppen. Abstrakte Formen verschiedener linearer Gruppen. Gruppe der Gleichung der 27 Geraden einer allgemeinen Fläche dritter Ordnung. Die bekannten Systeme einfacher Gruppen. Inhaltsverzeichnis.

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