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Ueber nicht-euklidische und Linien-Geometrie. Nicht gehaltene Vorträge. (German) JFM 31.0470.01
Greifswald: F. W. Kunike. \(8^\circ\). 31 S. sep. (S. 67-97 aus einer Festschrift für Professor Limpricht.) (1900).
Der Verf. stellt an die Spitze seiner Ausführungen den sehr beherzigenswerten Gedanken, dass, wie man auch sonst über den Wert der nichteuklidischen Geometrie denken mag, jedenfalls “unter Umständen zu einem tiefer eindringenden Verständnis selbst sehr elementarer Abschnitte der euklidischen Geometrie die Kenntnis der nichteuklidischen Geometrie nicht wohl entbehrt werden kann.” Dass es sich wirklich so verhält, zeigen die vom Verf. gefundenen neuen Constructionen für die Zusammensetzung von Kräften, zu deren Auffindung der Umweg über die nichteuklidische Geometrie thatsächlich nötig gewesen ist. Es ergiebt sich aber auch, wie der Verf. an verschiedenen Beispielen näher ausführt, wenn man in der nichteuklidischen Geometrie Sätze oder Gruppen von Sätzen betrachtet, die nach dem Principe der Dualität zusammengehören, und dann den Grenzübergang zur euklidischen Geometrie macht. Dabei kann es vorkommen, dass einem Begriffe der nichteuklidischen Geometrie mehrere der euklidischen entsprechen, dass einzelne Sätze ganz illusorisch werden oder so verschieden von einander ausfallen, dass der Zusammenhang, der in der nichteuklidischen Geometrie deutlich sichtbar war, in der euklidischen gar nicht mehr an den Tag tritt. Der Verf. wendet sich jetzt zur Liniengeometrie des elliptischen Raumes. Er schlägt vor, die Clifford’schen Parallelen als “parataktische” Gerade zu bezeichnen und die beiden Arten der Parataxie als linksseitige und rechtsseitige zu unterscheiden. Eine orientirte Gerade nennt er einen “Speer” und den Inbegriff einer Geraden und ihrer absoluten Polare ein “Linienkreuz”. Mit Hülfe gewisser Abbildungen der Speere und der Linienkreuze auf Figuren des euklidischen Raumes ergiebt sich eine Fülle der fruchtbarsten Sätze und Methoden, z. B. zum Studium der Flächen von der Krümmung Null und der Normalennetze im elliptischen Raume, sowie gewisser Gruppen. Zum hyperbolischen Raume führt eine neue vom Verf. angegebene Darstellung der imaginären Punkte und Geraden der Ebene. Jedem reellen oder complexen Punkte der Ebene wird ein “Strahl” zugeordnet, worunter das Stück einer Geraden zu verstehen ist, das zwischen zwei reellen Punkten einer beliebig gewählten, festen Kugel liegt. Sind diese Punkte verschieden, so heisst der Strahl “eigentlich”; fallen sie zusammen, so reducirt sich der Strahl auf einen Punkt der Kugel und heisst “uneigentlich”. Die uneigentlichen Strahlen sind die Bilder der Punkte eines irreducibeln Kegelschnitts. Auf denselben Strahlenraum werden nun auch die reellen und imaginären Geraden der Ebene abgebildet, indem der Strahlenraum mit zwei Schichten von Strahlen überdeckt gedacht wird, derart, dass derselbe Strahl, je nachdem man ihn als Strahl der ersten oder der zweiten Schicht betrachtet, einen Punkt oder dessen Polare in Bezug auf jenen Kegelschnitt repräsentirt. Den projectiven und den dualistischen Transformationen der Ebene entsprechen bei dieser Abbildung gewisse Transformationen der Strahlen, bei denen je zwei Strahlen, die verschiedenen Schichten angehören, und die einander im Sinne der durch die Kugel definirten Cayley’schen Massbestimmung senkrecht schneiden, in zwei ebensolche Strahlen übergehen. Näheres mitzuteilen ist hier nicht möglich, zumal da der Verf. selbst schon im Vergleich mit der Fülle der neuen Ergebnisse die Darstellung sehr knapp gehalten hat. Betont sei nur, dass man von jetzt ab die Plücker’sche Liniengeometrie nicht mehr als die einzige ihrer Art ansehen darf, sondern dass man die vom Verf. entwickelten Liniengeometrien, die von der Plücker’schen ganz verschieden sind, als vollkommen gleichberechtigt mit dieser zu betrachten hat.