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On the expansion of an arbitrary functions in a series of harmonic functions. (Sur le développement d’une fonction arbitraire en une série procédant suivant les fonctions harmoniques.) (French) JFM 31.0419.01
Poincaré hat in seiner wichtigen Untersuchung “Sur les équations de la physique mathématique” (Palermo Rend. 8, 51-156, 1894; vergl. auch das sehr ausführliche Referat: F. d. M. 25, 1526-1532, JFM 25.1526.01) unter anderem eine Reihe von Sätzen aufgestellt, welche sich auf gewisse (harmonische) Functionen \(U_p\) beziehen, die an der geschlossenen Grenzfläche \(S\) eines Gebietes \(D\) verschwinden und in \(D\) den Differentialgleichungen \[ \varDelta U_p + k_pU_p = 0\quad (p=1,2,3,\dots) \] genügen (\(k_p\) positive Constanten, \(k_p\leq k_{p+1}\)), sowie Sätze, welche die Gleichung \(\varDelta u + \xi u + f = 0\) betreffen. Darin ist \(\xi\) eine willkürliche Constante (Parameter), \(f\) eine gegebene Function von \(x\), \(y\), \(z\), und \(u\) verschwindet an \(S\) und erfüllt vorstehende Gleichung innerhalb \(D\).
Ueber die Function \(f(x, y, z)\) führt Verf. nun, in Erweiterung des Poincaré’schen Ergebnisses, den Nachweis, dass jede Function \(f(x, y, z)\), wenn sie auf \(S\) verschwindet, und wenn \(\varDelta f\) existirt, in eine im ganzen Gebiete \(D\) gleichmässig convergente Reihe nach Functionen entwickelt werden kann, deren jede eine lineare und homogene Combination mit constanten Coefficienten einer endlichen Anzahl harmonischer Functionen ist. Es wird nur vorausgesetzt, dass die Fläche \(S\), welche auch aus mehreren getrennten Stücken bestehen kann, in jedem ihrer Punkte Hauptkrümmungsradien besitze, welche nicht unterhalb einer festen Länge sind.

MSC:
31B05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in higher dimensions
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Full Text: EuDML