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Sur les courbes définies par des équations différentielles. (French) JFM 31.0328.03
Bei seinen Untersuchungen über die Natur der reellen Integralcurven, welche eine Differentialgleichung der Form \(dx/X = dy/Y\), wo \(X\) und \(Y\) Polynome in \(x\) und \(y\) sind, befriedigen, hat sich Poincaré [J. de Math. 1881, 1882, ...; vgl. JFM 13.0591.02, JFM 14.0666.01, JFM 17.0680.01 und JFM 18.0314.01] auf den Fall beschränkt, wo die Differentialgleichung eine singuläre Stelle \((a,b)\) der Art besitzt, dass \(X=\alpha(x-a) + \beta(y-b) + X_2\), \(Y=\gamma(x-a) + \delta(y-b) + Y_2\) ist, worin \(X_2\) und \(Y_2\) Polynome bedeuten, die \(x-a\), \(y-b\) mindestens in der Dimension 2 enthalten und die Constanten \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) so beschaffen sind, dass die Gleichung \[ \begin{vmatrix} \alpha-\lambda&\beta\\ \gamma&\delta-\lambda\end{vmatrix} = 0 \] weder die Wurzel Null noch eine mehrfache Wurzel habe.
Der Verf. der vorliegenden umfangreichen Arbeit führt diese Untersuchungen in interessanter Weise fort und zeigt zunächst, dass die wichtigsten Poincaréschen Sätze sich auf den Fall ausdehnen lassen, dass über die Functionen \(X\) und \(Y\) nur die Voraussetzung getroffen wird, sie seien ebenso wie ihre Ableitungen nach \(x\) und \(y\) stetig. Dieser Nachweis wird im ersten Kapitel geführt, in welchem die Begriffe einer “courbe intégrale traversant un point singulier” und der “région nodale” sich als bedeutungsvoll erweisen.
In den folgenden Kapiteln studirt der Verf. die Natur der singulären Punkte näher für den Fall, dass \(X\) und \(Y\) holomorphe Functionen der Variabeln sind; insbesondere wird im dritten Kapitel der Fall untersucht, wo die Glieder kleinster Dimension von der Ordnung 1 sind, und wo die Wurzeln der oben angegebenen Gleichung nicht beide Null sind. Und zwar wird die Untersuchung in diesen Fällen durchgeführt, ohne dass man die Reihenentwickelung der Integrale in der Nähe eines singulären Punktes zu kennen braucht.
Der allgemeine Fall wird vermittelst einer Reihe bilinearer Substitutionen auf Differentialgleichungen der Form \[ x^n\frac{dy}{dx} = ay + bx + \mathfrak P(x,y)\qquad (a\neq0) \] zurückgeführt, worin \(\mathfrak P\) eine Taylor’sche Reihe bedeutet, deren sämtliche Glieder die Dimension \(>1\) haben. Diese Reduction gestattet, die Natur der Integralcurven in der Nähe eines singulären Punktes völlig zu bestimmen, sowie Reihenentwickelungen nach einer früheren Methode des Verf. zu gewinnen. (“Sur les points singuliers des équations différentielles”. Stockh. Öfv. 1898; F. d. M. 29, 275-276, JFM 29.0275.01). Verf. ist also zur vollständigen Lösung eines Problems gelangt, das Briot und Bouquet in ihren “Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équatiens différentielles” (J. de l’Éc. Pol. 1856) behandelt haben.

MSC:
34C05 Topological structure of integral curves, singular points, limit cycles of ordinary differential equations
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References:
[1] Journal de Mathématiques, 1881, 1882, ...
[2] Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles. Journal de l’école polytechnique, Cahier. 45. Voir aussiPoincaré Thèse inaugurale, Paris, Gauthier-Villars 1879.
[3] Öfversigt af K. Vet. Akad. Förhandl., Stockholm, Febr. 9, 1898.
[4] Journal de l’école polytechnique, 1856. · ERAM 051.1360cj
[5] On doit observer que cette définition diffère de celle deM. Poincaré. Dans le cas étudié par l’illustre géomètre le centre est en effet toujours tel que toutes les caractéristiques qui passent par des points suffisamment voisins du point singulier sont des caractéristiques fermées. Comparer les travaux cités deM. Poincaré.
[6] Voir mon mémoireSur les points singuliers des équations différentielles, Öfversigt af Kongl. Vet. Akad. Förh. 1898, page 186.
[7] J’ai donné une démonstration de ce théorème dans le dernier de mes mémoires:Sur les points singuliers des équations différentielles. Öfversigt af Kongl. Vet. Akad. Förh. 1898.
[8] VoirPoincaré:Sur les courbes définies par des équations différentielles. Journal de Math., 1881 pages 400 et suivantes.
[9] Comparer à ce sujet mon mémoire:Sur les points singuliers des équations différentielles. Öfversigt af Kongl. Vet. Akad. Förh. Febr. 9, 1898, où j’ai donné une méthode pour calculer par des approximations successives les caractéristiques de cette équation passant par l’origine.
[10] VoirPoincaré,Sur les counbes définies par des équations différentielles, Journal de Math. 1885, pages 172–193.
[11] VoirWeierstrass,Einige auf die Theorie der avalytischen Functionen sich beziehende Sülze. Math. Werke, Tome II.
[12] VoirPoincaré:Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste. Tome I, page 58.
[13] Voir Öfversigt af Kongl. Vet Akad. Förh. II Mars 1896.
[14] VoirWeierstrass:Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mebrerer Veränderlichen sich bezichende Sätze. Math. Werke, tome II.
[15] Comparer à ce sujet mon mémoire:Sur les points singuliers des équations différentielles, Öfversigt af K. Vet. Akad. Förhandlingar, Febr. 9, 1898, où j’ai développé la méthode donnée dans ce chapitre d’une manière un peu différente de celle exposée ici.
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