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Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. (French) JFM 31.0297.01
Der von Jacobi gegebene und von Beltrami erweiterte Beweis der Invarianz von \(\varDelta_2U\) überrascht sehr dadurch, dass derselbe mit Hülfe der Variation eines Integrals geführt wird, während der Satz seiner Natur nach in die algebraische Theorie der Elimination gehört. Dieser Bemerkung und der a priori angenommenen Möglichkeit, die Theorie der Differentialparameter zweiter Ordnung auf die Theorie der Invarianten algebraischer Formen zurückführen zu können, ist die Entdeckung der Methoden zu danken, welche die Verff. unter dem Namen “absoluter Differentialcalcul” zusammenfassen. Die erste Frucht dieser Methoden war die Entdeckung einer ganzen Kette von eine oder mehrere willkürliche Functionen enthaltenden Differentialinvarianten, deren erstes und wichtigstes Glied gerade \(\varDelta_2U\) ist.
Der Algorithmus des absoluten Differentialcalculs, wie er von den Verff. hier in seinen Grundzügen dargelegt wird, findet sich bereits in einer Arbeit Christoffel’s (“Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades.” J. für Math. 70, 46-70; F. d. M. 2, 128-129, 1869, JFM 02.0128.03) begründet. Die Methoden dieses Calculs und die Vorteile, welche seine Benutzung darbietet, haben ihren Ursprung in den engen Beziehungen, welche ihn mit dem Begriffe der Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen verknüpfen, wie ihn uns die Gauss’schen und die Riemann’schen Arbeiten kennen gelehrt haben.
Hiernach ist eine Mannigfaltigkeit \(V_n\) in ihren metrischen Eigenschaften definirt durch \(n\) unabhängige Veränderliche und eine Klasse von quadratischen Differentialformen dieser Veränderlichen, von welchen je zwei durch eine Punkttransformation in einander übergeführt werden können. Es bleibt also \(V_n\) unverändert bei jeder Coordinatentransformation. Die Formeln und Resultate des absoluten Differentialcalculs sind somit ganz unabhängig von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen, und es ist daher der absolute Differentialcalcul ein natürliches Werkzeug für alle Untersuchungen, welche eine Mannigfaltigkeit \(V_n\) zum Gegenstande haben, oder welche als charakteristisches Element eine positive quadratische Form der Differentiale von \(n\) Veränderlichen oder ihren Ableitungen aufweisen.
Die summarische Darstellung, welche die Verff. in der vorliegenden Abhandlung von diesen Methoden und ihren Anwendungen geben, sollen den Leser von den Vorteilen dieses Calculs überzeugen und demjenigen, welcher ihn anwenden will, die Mühe und Schwierigkeiten vermindern, welche die Benutzung eines neuen Hülfsmittels stets mit sich bringt.
Die Abhandlung zerfällt in zwei ziemlich gleiche Teile; in dem ersten werden die Grundzüge des Algorithmus auseinandergesetzt, in dem zweiten wird er auf Beispiele aus der Analysis, Geometrie, Mechanik und Physik angewandt.

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References:
[1] Cfr.Ricci “Sui parametri e gli invarianti delle forme quadratiche differenziali”, Annali di matematica pura ed applicata, Serie IIa, Tomo XIV, 1886.
[2] “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, Crelle’s Journal, Band LXX, 1869.
[3] Ricci ?Delle derivazioni covarianti e controvarianti? Studi éditi dall’ Università di Padova ecc, Padova, 1888. ?Lezioni sulla teoria delle superficie?, Padova, presso i fratelli Drucker, 1898.
[4] Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, Crelle’s Journal, Band LXX, 1869.
[5] Gesammelte Werke, pag. 270.
[6] “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, Crelle’s Journal, B. LXX, 1869. Voir aussi, dans le même volume, les “Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen vonn Differentialen” par M.Lipschitz.
[7] Cfr.Ricci “Sulla teoria degli iperspazï”, Rendiconti della r. Accademia dei Lincei, 24 Nov. 1895, et aussi “Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque”, Memorie della r. Accademia dei Lincei, 1896.
[8] VoirRicci “Dei sistemi di congruenze ortogonali etc.”, § 5, et aussi “Lezioni sulla teoria delle superficie”, Première Partie, Chapitre IV.
[9] Plusieurs géomètres ont étudié la courbure des surfaces dans les hyperespaces. ? Il suffira ici de rappeler le Mémoire fondamental de M.Lipschitz ?Entwickelungen einiger Eigenschaften der quadratischen Formen vonn Differentialen?, Crell’s Journal, Band LXXI, 1870.
[10] Cfr.Levi-Civita “Sulle congruenze di curve”, Rendiconti dell’ Accademia dei Lincei, 5 Marzo 1891.
[11] Darboux “Leçons sur la théorie des surfaces”, T. I, Chapitre V; et aussiKönigs “Leçons de Cinématique”, Chapitre X, et la Note M. M.E. etF. Cosserat, “Sur la Cinématique dans les milieus continus”, qui suit cesLeçons.
[12] Levi-Civita “Tipi di potenziali, che si possono far dipendere de due sole coordinate”, Memorie delle Accademia delle Scienze di Torino, Tomo XLIX, 1899, § 4. · JFM 30.0697.01
[13] Ricci “Sulla teoria delle linee geodetiche e dei sistemi isotermi di Liouville”, § 2 Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 1894 et aussiLevi-Civita “Sulla trasformazione delle equazioni dinamiche”, § 7, Annali di Matematica, 1896.
[14] Cfr.Ricci “Principi di una teoria delle forme differenziali quadratiche” Ann. di Matematica, Ser. IIa, T. XII, 1884, ou le Chapitre V, des “Lezioni, etc.”.
[15] VoirRicci “Sui parametri e gli invarianti delle forme quadratiche differenziali” Ann. di Matematica, Ser. IIa, T. XIV, 1886 et “Lezioni etc”, Chap. V. A consulter aussiLevi-Civita “Sugli invarianti assoluti”, Atti dell’ Istituto Veneto, 1894.
[16] “Ricerca fondamentale per lo studio di una certa classe di proprietà delle superfici curve”, Ann. di Matematica, Ser. Ia, T. III e IV, 1860-61.
[17] “Sur le problème général de la deformation des surfaces”, Comptes Rendus, 13 Juin 1892.
[18] Ricci ?Sulle teoria intrinseca delle superficie ed in ispecie di quelle di secondo grado?, Atti dell’ Istituto Veneto, 1895; ?Lezioni etc.?, Seconde partie, Chap. VI.
[19] Ricci ?Sui gruppi continui di movimenti in una varietà qualunque a tre dimensioni?, Memorie della Società Italiana delle Scienze, Ser. 3a, T. XII, 1899. Les résultats de ce mémoire ont été résumés dans deux Notes des Comptes Rendus (16 et 22 Août 1898).
[20] Voir le mémoire ?Ueber die Grundlagen der Geometrie?, Crelle’s Journal, Bd. CIX, 1892.
[21] Voir les Memorie della Societa Italiana delle Scienze, Ser. 3a, T. XI, 1897.
[22] Gesammelte Werke, pag. 264.
[23] Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, Dritter Abschnitt, pag. 289 et suivantes.
[24] Voir par exemple B. 50, 1898, page 601 de ce même receuil.
[25] Les \(\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {rs} i \end{array} } \right\}\) sont les symboles de Christoffel de seconde espèce; voir Chap. I, §5.
[26] Voir par exemple:Levi-Civita “Sugli integrali algebrici delle equazioni dinamiche” Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Vol. XXXI, 1896. · JFM 27.0604.01
[27] Voir dans les Comptes Rendus deux notes remarquables de cet auteur (9 Mars 1893 et 7 Octobre 1895). A consulter aussi:Di Pirro ?Sugli integrali primi quadratici delle equazioni della meccanica?, Annali di Matematica, Ser. IIa, T. XXIV, 1896;Stäckel ?Ueber die quadratischen Integrale der Differentialgleichungen der Dynamik?, ibidem, T. XXV, 1897;Painlevé ?Sur les intégrales quadratiques des équations de la Dynamique?, Comptes Rendus, 1er Février 1897.
[28] Pour être exact. il faut avertir que l’on suppose d’avance la normalité de toutes les congruences de l’ennuple seulement dans le cas, où toutes les ? seraient distinctes. Lorsqu’il y en a quelques unes, qui coïncident, l’hypothèse est un peu moins restrictive. Cfp.Levi-Civita ?Sur les intégrales quadratiques des équations de la mécanique?, Comptes Rendus, 22 Février 1897.
[29] Levi-Civita ?Sur une classe deds 2 à trois variables?, Comptes Rendus, 21 Juin 1897.
[30] Ricci ?Sulla teoria delle linee geodetiche e dei sistemi isotermi di Liouville?, Atti dell’ Istituto Veneto, 1894; ?Lezioni, etc.?, Première partie, Chap. VI, VII.
[31] ?Mémoire sur les lignes géodésiques?, Mémoires des Savants Étrangers, T. XXXI, 1894.
[32] ?Sur la transformation des équations de la dynamique?, Journal de Liouville, Cinquième Série, tom. X, 1894.
[33] Acta Mathematica, T. 19, 1895.
[34] Levi-Civita ?Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche?, Annali di Matematica, Ser. II, T. XXIV, 1896. · JFM 27.0603.04
[35] Loco cit.Levi-Civita ?Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche?, Annali di Matematica, Ser. II, T. XXIV, 1896.
[36] ?Sur les transformations des équations de la dynamique?, Comptes Rendus, 24 Août 1896. Voir aussi deux notes deM. Viterbi ?Sulla trasformazione delle equazioni della dinamica a due variabili?, Rendiconti dell’ Accademia dei Lincei, 4 e 18 Febbraio 1900.
[37] ?Ueber Transformationen von Bewegungen?, Göttinger Nachrichten, 1898. · JFM 29.0613.01
[38] Voir par exemple le mémoire ?Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche?, Memorie della Accademia di Bologna, Ser. IV, T. II, 1881.
[39] ?Sopra alcuni problemi della teoria del potenziale?, Annali della Scuola Normale di Pisa, 1883. · JFM 16.0847.01
[40] ?Commentatio mathematica, qua etc.?, Ges. Werke, pag. 370.
[41] Levi-Civita ?Tipi di potenziali, che si possono far dipendere da due sole coordinate?, Memorie della Accademia di Torino, Ser. II, T. XLIX, 1899. · JFM 30.0697.01
[42] VoirBianchi ?Lezioni di geometria differenziale?, Chap. X; ou bien encoreLevi-Civita ?Sulle congruenze di curve?, Rendiconti della Accademia dei Lincei, 5 Marzo 1899.
[43] Pour les généralité sur les champs vectoriels, au point de vue, que nous envisageons ici, on consultera avec profit (outre le traité bien connu de Tait) le mémoire posthume du regrettéFerraris ?Teoria geometrica dei campi vettoriali?, Memorie dell’ Accademia di Torino, T. XLVII, 1897 et un mémoire recent deM. Donati ?Sulle proprietà caratteristiche dei campi vettoriali?, Memorie dell’ Accademia di Bologna, Ser. V, T. VII, 1898.
[44] M.Abraham dans un article recent, paru dans ce même recueil (B. 52, 1899, pag. 81) s’est occupé aussi de la représentation des champs vectoriels en coordonnées curvilignes. Il se borne toutefois aux coordonnées orthogonales, en employant pour la déduction des formules les méthodes ordinaires.
[45] La même méthode conduit aussi à traduire presque immédiatement en coordonnées quelconques certaines relations intégrales. C’est le cas par exemple des formules bien connues de Green et de Stokes. Voir, quant à cette dernière:Ricci ?Del teorema di Stokes in uno spazio qualunque a tre dimensioni e in coordinate generali?, Atti dell’ Istituto Veneto, 1897.
[46] Pour la définition des symboles, voyez Chap. I, §5.
[47] On consultera à ce propos: Riccí ?Lezioni sulla teoria dell’ elasticità?, qui paraîtront prochaînement.
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