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Tipi di potenziali che si possono far dipendere da due sole coordinate. (Italian) JFM 30.0697.01
Torino Mem. (2) 49, 105-152 (1899).
Führt man in der Laplace’schen Gleichung \[ \Delta u\equiv\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x_3^2} = 0 \] an Stelle von \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) neue (im allgemeinen nicht orthogonale) Variabeln \(\varrho_1\), \(\varrho_2\), \(\varrho_3\) ein, so fragt es sich: wie müssen diese neuen Variabeln beschaffen sein, damit die Gleichung \(\Delta u=0\) eine Lösung hat, die nur von \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) abhängt, \(\varrho_3\) aber nicht enthält. Der Verf. zeigt, dass es nur fünf Klassen von solchen binären Potentialen giebt; es sind die folgenden: \[ \begin{aligned} &1.\;\text{das logarithmische oder cylindrische Potential,}\\ &2.\;\text{das symmetrische (Kreis-) Potential,}\\ &3.\;\text{das Schraubenpotential (potenziale elicoidale),}\\ &4.\;\text{das Kegelpotential,}\\ &5.\;\text{das Spiralpotential (potenziale spirale);}\end{aligned} \] 3. und 5. enthalten je einen Parameter. Die entsprechenden Variabeln \(\varrho_1\), \(\varrho_2\), \(\varrho_3\) sind mit den geradlinigen Coordinaten \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) resp. durch folgende Gleichungen verbunden: \[ \begin{alignedat}{3} x_1 &= \varrho_1,&x_2 &= \varrho_2,&x_3 &= \varrho_3;\tag{1}\\ x_1 &= \varrho_1\cos\varrho_3,&x_2 &= \varrho_1\sin\varrho_3,&x_3 &= \varrho_2;\tag{2}\\ x_1 &= \varrho_1\cos\varrho_3,&x_2 &= \varrho_1\sin\varrho_3,&x_3 &= \varrho_2-m\varrho_3\,(m>0);\tag{3}\\ x_1 &= \varrho_3\sin\varrho_1\cos\varrho_2,&x_2 &= \varrho_3\sin\varrho_1\varrho_2,&x_3 &= \varrho_3\cos\varrho_1;\tag{4}\end{alignedat} \] \[ \left\{\begin{aligned} x_1 = \varrho_1\sin\varrho_2e^{m\varrho_3}\cos\varrho_3,\quad x_2 = \varrho_1\sin\varrho_2e^{m\varrho_3}\sin\varrho_3,\\ x_3 = \varrho_2\cos\varrho_3e^{m\varrho_3}\quad(m>0).\end{aligned}\right.\tag{5} \] Die Linien \(\varrho_1=\)const., \(\varrho_2=\)const. sind resp. parallele Gerade, parallele Kreise mit gleicher Axe, Schraubenlinien mit gleicher Axe und Ganghöhe, Strahlen, die sich in einem Punkte schneiden, Spiralen von gleichem Parameter.
Die Gleichung \(\Delta u=0\) nimmt, wenn man darin \(\frac{\partial u}{\partial\varrho_3}=0\) setzt, in den verschiedenen Fällen folgende Gestalt an: \[ \begin{aligned} \theta_1u &\equiv \frac{\partial^2u}{\partial\varrho_1^2} + \frac{\partial^2u}{\partial\varrho_2^2} = 0,\tag{1}\\ \theta_2u &\equiv \frac1{\varrho_1}\frac{\partial\varrho_1\frac{\partial u}{\partial\varrho_1}}{\partial\varrho_1} + \frac{\partial^2u}{\partial\varrho_2^2} = 0,\tag{2}\\ \theta_3^{(m)}u &\equiv \frac1{\varrho_1}\frac{\partial\varrho_1\frac{\partial u}{\partial\varrho_1}}{\partial\varrho_1} + \left(1 + \frac{m^2}{\varrho_1^2}\right)\frac{\partial^2u}{\partial\varrho_2^2} = 0,\tag{3}\\ \theta_4u &\equiv \frac1{\sin\varrho_1}\frac{\partial\sin\varrho_1\frac{\partial u}{\partial\varrho_1}}{\partial\varrho_1} + \frac1{\sin^2\varrho_1} \frac{\partial^2u}{\partial\varrho_2^2} = 0,\tag{4}\\ \theta_5^{(m)}u &\equiv \frac1{\varrho_1^2}\frac{\partial\varrho_1^2\frac{\partial u}{\partial\varrho_1}}{\partial\varrho_1} + \frac{m^2}{\varrho_1\sin^2\varrho_2}\frac{\partial\varrho_1\frac{\partial u}{\partial\varrho_1}}{\partial\varrho_1} + \frac1{\varrho_1^2\sin^2\varrho_2}\frac{\partial\sin\varrho_2\frac{\partial u}{\partial\varrho_2}}{\partial\varrho_2} = 0.\tag{5}\end{aligned} \] Die Fälle (1), (2), (4) sind wohl bekannt, (3) findet sich in einer nachgelassenen Arbeit von Riemann (s. Riemann’s Werke, Abhandlung XXII), (5) ist neu. Uebrigens lässt sich der Fall (4) auf (1) reduciren, wenn man für \(d\varrho_1/\sin\varrho_1\) eine neue Variable einführt. Ferner ist in (3) der Parameter \(m\) unwesentlich und kann gleich 1 gesetzt werden (man braucht nur für \(\varrho_1/m\) und \(\varrho_2/m\) neue Variabeln einzuführen), während in (5) der Parameter \(m\) wesentlich ist.
Auf die obigen fünf Klassen gelangt der Verf. durch Anwendung der infinitesimalen Transformation \[ Xf = \xi_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \xi_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \xi_3\frac{\partial f}{\partial x_3} \] auf den Ausdruck \(\Delta u\). Bestimmt man die Coefficienten \(\xi_1\), \(\xi_2\), \(\xi_3\) so, dass gleichzeitig \[ Xu = 0\quad\text{und}\quad X(\Delta u) = -2M\Delta u \] wird (wo \(M\) eine beliebige Function von \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) sein könnte, die sich aber weiterhin als Constante ergiebt), so findet man, dass die allgemeinste Transformation, die obigen Bedingungen genügt, enthalten ist in der Gruppe der Aehnlichkeitstransformationen. Nimmt man ferner für \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) zwei unabhängige Integrale von \(\bar Xf=0\), unter \(\bar Xf\) eine der Transformationen der genannten Gruppe verstanden, wahrend \(\varrho_3\) beliebig, nur von \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) unabhängig ist, so werden, falls \(u\) von \(\varrho_3\) unabhängig ist, auch die einzelnen Coefficienten von \(\Delta u\), abgesehen von einem gemeinsamen Factor, unabhängig von \(\varrho_3\). Jede der in der Aehnlichkeitsgruppe enthaltenen, infinitesimalen Transformationen führt demnach auf ein Potential von der genannten Eigenschaft, und zwar entsprechen die obigen fünf Klassen resp. der Translation, der Rotation, der Schraubenbewegung, der eigentlichen Aehnlichkeitstransformation, der Spiralbewegung (Combination einer Drehung mit einer Aehnlichkeitstransformation).
Weiter wird untersucht, ob die obigen fünf Klassen die einzig möglichen sind, oder ob es noch andere giebt. Zu dem Zwecke werden allgemein die von den Curven \(\varrho_1=\)const., \(\varrho_2=\)const. gebildeten Congruenzen betrachtet; dann ist zu ermitteln, unter welchen Bedingungen eine Congruenz die Eigenschaft hat, dass sie von Linien gleichen Potentials gebildet wird. Die Bedingungen dafür werden durch längere Rechnungen, auf deren Einzelheiten hier nicht eingegangen werden kann, entwickelt; die Grundlagen dieser Entwickelung bilden Formeln, die von Ricci (vergl. F. d. M. 27, 543, 1896, JFM 27.0543.03; 29, 514, 1898, JFM 29.0514.04) aufgestellt sind. Zunächst ergiebt sich (unter Benutzung einer neuen Formel für das Linienelement des Raumes), dass geradlinige isotrope Congruenzen stets auch äquipotential sind. Die Laplace’sche Gleichung für das zugehörige binäre Potential lässt sich stets auf die Form \[ \frac{\partial^2u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x_2^2} = 0 \] reduciren, in der aber \(x_1\), \(x_2\) nicht geradlinige Coordinaten zu bezeichnen brauchen. Ferner folgt, dass Congruenzen, die nicht geradlinig und isotrop sind, nur dann äquipotential sein können, wenn sie die Trajectorien einer reellen Aehnlichkeitsgruppe \(\infty^1\) sind. Es giebt somit keine anderen Arten binärer Potentiale, als die oben unter (1), (2), (3), (5) aufgeführten.
Zum Schluss wird noch untersucht, ob einige der obigen Klassen etwa auf einander reducibel sind. Auf Grund einer Arbeit von Cotton (vergl. F. d. M. 27, 278, 1896, JFM 27.0278.03) ergiebt sich, dass das nicht der Fall ist, dass keine der vier Klassen auf eine andere zurückgeführt werden kann; dass ferner auch irgend zwei Potentiale der Klasse (5) nicht auf einander reducibel sind, wenn der Parameter \(m\) in beiden verschiedene Werte hat.