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A theorem on entire series. (Théorème sur les séries entières.) (French) JFM 29.0210.02

MSC:
30B30 Boundary behavior of power series in one complex variable; over-convergence
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References:
[1] Journal de M. Jordan, 4e série, tome 8; 1892; nos 35-37.
[2] loc cit., Journal de M. Jordan, 4e série, tome 8; 1892 no 31, note.
[3] R(u) désigne la partie réelle deu.
[4] Il est probable qu’il ne faudrait pas chercher à démontrer la réalité des racines de l’équation (15) par des considérations de cette espèce, non plus que par toute autre voie reposant sur la décomposition de \(\zeta\)(u) en produit. Cette décomposition ne permet, en effet, d’utiliser que les propriétés suivantes de la fonction \(\zeta\): 1o \(\zeta\)(u) (pourR(u)>1) est le produit de facteurs de la forme \(\frac{I}{{I - p^{ - u} }}\) , où les nombresp sont positifs et croissent indéfiniment; 2o \(\zeta\)(u) est uniforme dans tout le plan et égal au quotient, par \(\frac{{u\left( {u - I} \right)}}{2}\pi ^{ - \frac{u}{2}} \Gamma \left( {\frac{u}{2}} \right)\) d’une fonction entière de genre zéro par rapport à \(\left( {u - \frac{I}{2}} \right)^2 \) . Or rien ne porte à croire qu’il n’existe pas une infinité de fonctions satisfaisant aux conditions précédentes, sans avoir leurs zéros situés sur la droite \(R\left( u \right) = \frac{I}{2}\) . Bien entendu, il se peut que les racines de l’équation (15) soit réelles sans que la formule (14) soit vraie et sans même que son premier membre ait un sens.
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