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Ueber das Gleichungssystem einer Kirchhoff’schen galvanischen Stromverzweigung. (German) JFM 28.0770.01
Um ein Liniensystem von \(n\) Linien und \(m\) Kreuzungspunkten in den baumförmigen Typus (bei dem das System eben noch nicht zerfällt) überzuführen, muss eine ,,Gruppe” von \(\mu = n-m+1\) Linien entfernt werden. Behält man eine von diesen \(\mu\) Linien bei, so bleibt ein geschlossener Kreis übrig; das System der \(\mu\) Kreise, die der Reihe nach übrig bleiben, wenn man alle \(\mu\) Linien bis auf je eine wegnimmt, ist ein ,,Fundamentalsystem von Kreisen”, d. h. es hat die Eigenschaft, dass irgend ein geschlossener Kreis durch ,,Composition” aus ihnen hergestellt werden kann. Auf Grund dieser und sich daran anschliessender allgemeiner Betrachtungen wird zunächst gezeigt, dass die \(\mu\) Gleichungen, die das erste, und die \(m-1\) Gleichungen, die das zweite Kirchhoff’sche Gesetz liefert, sämtlich von einander unabhängig sind. Durch geeignete Anordnung des Gleichungssystems stellt sich in Bezug auf den für die Stromstärke \(J_1\) resultirenden Quotienten Folgendes heraus: ,,Die Determinante des Nenners ist eine ganze homogene Function \(\mu^{\text{ten}}\) Grades der Widerstände \(w\), wobei jedoch nur solche Widerstände mit einander combinirt vorkommen, deren zugehörige Linien eine Gruppe bilden, und wo jedes Glied den Coefficienten 1 besitzt; die Determinante des Zählers ist eine homogene ganze Function \((\mu -1)^{\text{ten}}\) Grades der Grössen \(w\) ausser \(w_1\), und zwar kommen nur die \(w\) derjenigen Linien mit einander combinirt vor, welche mit 1 eine Gruppe bilden, jede Combination mit der algebraischen Summe derjenigen elektromotorischen Kräfte multiplicirt, welche in dem nach Fortnahme jener \(\mu-1\) Linien allein übrig bleibenden Kreise vorkommen, alle in der Richtung als positiv gerechnet, in der \(J_1\) positiv ist.”

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References:
[1] ?Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird?, Poggendorff’s Annal. Bd. 72, 1847, pag. 497 ff.; Ges. Abhandl. pag. 22.
[2] Diese Bezeichnung entnehme ich Lippich, ?Bemerkungen zu einem Satze aus Riemann’s Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse?, Wiener Sitzungsber. Bd. LXIX, Abth. II, 1874, pag. 91 ff., während Listing, ?Vorstudien zur topologie? in Göttinger Studien, Bd. I, 1847, pag. 867 den Ausdruck ?Linearcomplexionen? gebraucht.
[3] Lippich, l. c. ?Bemerkungen zu einem Satze aus Riemann’s Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse?, Wiener Sitzungsber. Bd. LXIX, Abth. II, 1874, pag. 98; vgl. a. Durège, ?Elemente der Theorie der Functionen einer complexen veränderlichen Grösse?, Dritte Aufl. 1882, pag. 193.
[4] Die dualistisch verwandte Frage nach der Existenz eines Linienzuges, welcher jede Linie des Systems gerade einmal enthält, ist von C. Hierholzer, Math. Annal. Bd. 6 erledigt worden.
[5] Diese geometrischen Gebilde sind vor allem behandelt von Cayley, welcher sie ?Trees? nennt (Phil. Mag. XIII, 1857; XVIII, 1859; XLVII, 1874 u. British Association Report 1875), dann von Polignac (Bulletin de la société mathématique de France 1880, wiedergegeben in Lucas, Récréations mathématiques t. I. pag. 51), welcher sie mit den Namen ?ramification, arbre, arborescence? belegt. Das Hauptresultat dieser Polignac’schen Arbeit findet sich übrigens schon bei Lippich, l. c. ?Bemerkungen zu einem Satze aus Riemann’s Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse?, Wiener Sitzungsber. Bd. LXIX, Abth. II, 1874, pag. 93.
[6] Ges. Abhdl. pag. 31.
[7] Ges. Abhdl. l. c. pag. 31.
[8] Ges. Abhdl. l. c. pag. 23, 24.
[9] Ges. Abhdl. l. c. pag. 31.
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