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Theory of algebraic number fields. (Die Theorie der algebraischen Zahlkörper.) (German) JFM 28.0157.05
Es ist eine besonders erfolgreiche Thätigkeit der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, dass sie zusammenfassende ,,Berichte” über einzelne mathematische Disciplinen durch die jeweils berufensten ihrer Mitglieder veranlasst. Hilbert und Minkowski übernahmen es, einen Bericht über den gegenwärtigen Stand der Zahlentheorie auszuarbeiten, und haben diese Arbeit unter sich in der Weise geteilt, dass Minkowski die rationale Zahlentheorie, Hilbert die Lehre von den algebraischen Zahlen behandelt. Es ist ausgesprochenermassen das Princip der Darstellung, dass nicht eine encyklopädische Aneinanderreihung aller Ergebnisse und Methoden der Zahlentheorie gegeben werden sollte, sondern vielmehr eine zwar alles Wesentliche umfassende, aber durch die persönlichen Anschauungen der Verf. zur Einheit umgeformte Entwickelung der modernen Zahlenlehre.
Erschienen ist zunächst der Bericht Hilbert’s ,,die Theorie der algebraischen Zahlkörper”, begleitet von einem Vorwort, in welchem der Verf. eine begeisterte Würdigung der Zahlentheorie giebt, sowie von ihrer Geschichte und ihrer Stellung innerhalb der neueren Mathematik handelt. Der Bericht selber ist in jeder Hinsicht, sowohl nach seinem erschöpfenden Inhaltreichtum als auch durch seine präcise und klare Anordnung und Deduction im einzelnen, ein bewundernswertes Kunstwerk.
Die Hauptergebnisse kennzeichnet der Verf. in 169 fortlaufend numerirten ,,Sätzen”, unter denen zwanzig als Fundamentalsätze durch Cursivdruck ausgezeichnet sind. Im Verlaufe der Beweise der ,,Sätze” wird von 49 ,,Hülfssätzen” Gebrauch gemacht. Am Schlusse findet sich ein Register dieser Sätze und Hülfssätze, sowie ein Verzeichnis aller im Berichte vorkommenden ,,Begriffsnamen”, jedesmal unter Angabe der betreffenden Seite des Textes. Eine umfassende Zusammenstellung der Litteratur, auf welche im Texte fortlaufend Bezug genommen wird, ist gleichfalls am Ende des Werkes angehängt.
Unter den fünf Teilen der Darstellung behandelt der erste die allgemeine Theorie aller algebraischen Zahlkörper. Es handelt sich hier um die Grundlagen von Dedekind’s Idealtheorie und Kronecker’s Formentheorie, deren gegenseitiges Verhältnis klar hervortritt. Man darf vielleicht sagen, dass jene Theorie mehr der Seite der allgemeinen Begriffsbildung, diese mehr der analytischen Durchbildung zuneigt. Man vergleiche zum Beispiel den Satz von der eindeutigen Zerlegbarkeit der Ideale eines Körpers \(K\) in Primideale. In Kronecker’s Theorie wird diese Zerlegung zum Beispiel für eine rationale Primzahl \(p\) dadurch vollzogen, dass die zu \(K\) gehörenden ,,Fundamentalgleichung” mod. \(p\) in ihre irreducibeln Factoren zerlegt wird. Zu einem entsprechenden Ansatze war Dedekind bei seinen Untersuchungen über den Zusammenhang der Idealtheorie mit der Theorie der höheren Congruenzen geführt, ohne jedoch die Methode der Kronecker’schen ,,Unbestimmten” zu kennen. Die ihm hier entgegentretenden Schwierigkeiten waren ein Hauptanlass für die begriffliche Entwickelung, welche die Idealtheorie nahm. — Eine für Hilbert bezeichnende Wendung ist die Einführung der ,,Relativkörper”. Ist ein Körper \(k\) in einem anderen \(K\) enthalten, so kann man die Begriffe von Norm, Differente etc. für die Zahlen von \(k\) relativ zum Körper \(K\) gerade so entwickeln, wie sie in der allgemeinen Theorie bezüglich des rationalen Körpers entwickelt werden. Die hierbei in Betracht kommenden Gesichtspunkte werden in einem besonderen Kapitel erörtert und kommen später mehrfach zur Verwendung. Weiter werden je in besonderen Kapiteln behandelt die Theorie der Einheiten, die Idealklassen und deren Anzahlbestimmung, die zerlegbaren Formen, endlich die ,,Zahlringe”, welche Dedekind’s ,,Ordnungen” sind, und welche Hilbert im Anschluss an Kronecker auch wohl als ,,Integritätsbereiche” bezeichnet.
Specielle Ausführungen werden für vier verschiedene Arten algebraischer Zahlkörper gegeben. Der allgemeinen Theorie am nächsten steht diejenige der Galois’schen Zahlkörper oder Normalkörper, d. i. derjenigen Zahlkörper, welche mit ihren sämtlichen conjugirten Körpern identisch sind. Die Kenntnis dieser Zahlkörper verdankt man vornehmlich Hilbert selbst. Ihre Bedeutung für die allgemeine Theorie ist durch den Umstand begründet, dass jeder Körper \(n^{\text{ten}}\) Grades \(k\), mit seinen conjugirten Körpern \(k',\dots,k^{(n-1)}\) combinirt, einen Galois’schen Körper \(K\) liefert, welcher als ,,Oberkörper” den ,,Unterkörper” \(k\) enthält. Die bereits im ersten Teile ergründeten Beziehungen zwischen einem Körper \(k\) und einem ihn umfassenden Oberkörper \(K\), angewandt auf den eben gemeinten Körper \(k\) und den zugehörigen Normalkörper \(K\), werden hier zu einer reichen Quelle neuer Ergebnisse. Für die Theorie der Normalkörper selbst aber wird die zum einzelnen \(K\) gehörende ,,Gruppe” zu einem neuen und wirksamen Mittel der Untersuchung.
Ist \(\theta\) eine ,,den Körper bestimmende” ganze Zahl, so sind die \(n\) mit \(\theta\) conjugirten Zahlen rationale Functionen \(s_1(\theta) = \theta\), \(s_2(\theta),\,\dots,\,s_n(\theta)\) von \(\theta\), welche, als Substitutionen aufgefasst, eine Gruppe \(n^{\text{ter}}\) Ordnung bilden. Die in dieser Gruppe \(G\) enthaltenen Untergruppen \(g\) geben zur Bildung einer Reihe neuer Begriffe Anlass, welche ihrerseits für die Idealtheorie des Normalkörpers \(K\) grundlegend werden. Ist \(g_r\) eine Untergruppe \(r^{\text{ter}}\) Ordnung, so bilden alle Zahlen aus \(K\), welche durch die Substitutionen von \(g_r\) in sich überführt werden, den ,,zu \(g_r\) gehörigen Unterkörper.” Die sämtlichen Substitutionen von \(G\), welche ein vorgelegtes Primideal \(\mathfrak P\) invariant lassen, bilden die ,,Zerlegungsgruppe” \(g_z\) des Primideals \(\mathfrak P\), der nach dem eben angegebenen Satze ein ,,Zerlegungskörper” des Primideals \(\mathfrak P\) zugehört. In \(g_z\) ist als ausgezeichnete Untergruppe die sogenannte ,,Trägheitsgruppe” \(g_t\) des Primideals \(\mathfrak P\) enthalten, bestehend aus allen Substitutionen \(s\) von \(G\), für welche \(s(\Omega)\equiv\Omega\) (mod. \(\mathfrak P\)) bei jeder ganzen Zahl \(\Omega\) von \(K\) zutrifft. Ist \(r_t\) die Ordnung von \(g_t\), so gilt zum Beispiel der Satz, dass \(\mathfrak P^{r_t}=\mathfrak p\) ein Primideal ersten Grades im Zerlegungskörper ist. Um den Bau der Trägheitsgruppe näher zu erforschen, wird eine Reihe sogenannter ,,Verzweigungsgruppen” des Primideals \(\mathfrak P\) und zugehöriger ,,Verzweigungskörper” definirt, welche zur Decomposition der Gruppe \(g_t\) in nächster Beziehung stehen (siehe auch F. d. M. 25, 305, 1894, JFM 25.0305.01). Auch der algebraischen Bedeutung dieser Begriffsbestimmungen wird gedacht. Als charakteristisch werde zum Beispiel der Satz erwähnt, dass der Zerlegungskörper jedes Primideals \(\mathfrak P\) in \(K\) einen Rationalitätsbereich bestimmt, in welchem die Zahlen des ursprünglichen Körpers \(K\) lediglich durch Wurzelausdrücke darstellbar sind.
Die beiden folgenden Teile des Berichtes behandeln die beiden klassischen Beispiele der quadratischen Körper und der Kreiskörper (Kreisteilungskörper), und es ist dem Verf. durch seine kunstvolle Darstellungsweise gelungen, alle wesentlichen Gesichtspunkte dieser reich entwickelten Theorien zur Geltung zu bringen (siehe jedoch § 90).
Charakteristisch für Hilbert’s Darstellung der Theorie der quadratischen Körper ist der Gebrauch eines neuen Symbols \(\left(\frac{n,m}w\right)\), wo \(w\) eine rationale Primzahl, \(n\) und \(m\) beliebige ganze rationale Zahlen sein sollen, von denen die letzte jedoch von einem Quadrat verschieden ist. Falls in dem durch \(\sqrt m\) festgelegten Körper die Zahl \(n\) bezüglich jeder Potenz von \(w\) mit der Norm einer ganzen Zahl congruent ist, so soll \(\left(\frac{n,m}w\right) = +1\) sein; in allen übrigen Fällen ist \(-1\) der Wert des Symbols. Es wird eine Reihe von Relationen für dieses Symbol aufgestellt; bemerkt sei etwa, dass dasselbe für \(m=w\) mit dem Legendre’schen Zeichen \(\left(\frac nw\right)\) identisch wird, und dass für \(w=2\) gilt: \[ \left(\frac{n,m}2\right)=(-1)^{\frac{n-1}2\cdot\frac{m-1}2}\text{ und also } \left(\frac{p,q}2\right)=\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right) \] für zwei Primzahlen \(p\), \(q\). Das neue Symbol leistet gute Dienste beim Beweise des quadratischen Reciprocitätsgesetzes, sowie vornehmlich bei der Geschlechtereinteilung der Idealklassen des Körpers \(k(\sqrt m)\). Sind nämlich \(l_1,l_2,\dots,l_t\) die unterschiedenen in der Discriminante dieses Körpers aufgehenden Primzahlen, so legt man einer beliebigen ganzen rationalen Zahl \(a\) das ,,Charakterensystem” bei: \[ \left(\frac{a,m}{l_1}\right),\,\left(\frac{a,m}{l_2}\right), \,\dots,\,\left(\frac{a,m}{l_t}\right) \] und definirt in ähnlicher Weise auch für jedes Ideal \(\mathfrak a\) von \(k(\sqrt m)\), nämlich unter Vermittlung der Norm von \(\mathfrak a\), ein Charakterensystem. Die Genera entspringen dann auf Grund des Umstandes, dass äquivalente Ideale gleiche Charakterensysteme haben, und dass daraufhin alle Idealklassen gleicher Systeme zu einem Geschlechte zusammengefasst werden.
Ein Kreiskörper ist zunächst jeder aus den Einheitswurzeln eines beliebigen Grades entspringende Zahlkörper, im weiteren Sinne aber auch jeder in einem solchen enthaltene Unterkörper. Das Hauptinteresse innerhalb der Theorie der Kreiskörper hat neuerdings das von Kronecker aufgestellte, von Weber 1886 und von Hilbert aufs neue 1896 bewiesene Theorem erregt, dass die Gesamtheit aller Kreiskörper sich gerade mit der Gesamtheit aller im Bereiche der rationalen Zahlen Abel’schen Zahlkörper deckt. Diesem Satze widmet der Verf. das 23. Kapitel seines Berichtes. Im weiteren Verlauf der Theorie der Kreiskörper gewinnt der Begriff der ,,Wurzelzahlen” eine fundamentale Bedeutung. Es sei ein Abel’scher Körper vom Primzahlgrade \(l\) vorgelegt, und es werde angenommen, dass die Discriminante desselben eine Potenz der von \(l\) verschiedenen Primzahl \(p\) darstelle. Für einen solchen Körper kann man (Satz 132) stets eine sogenannte ,,Normalbasis” von der Gestalt \(\nu,\,t(\nu),\,t^2(\nu),\,\dots,\,t^{l-1}(\nu)\) auswählen, unter \(1,\,t,\,t^2,\,\dots,\,t^{l-1}\) die Substitutionen der zugehörigen Gruppe verstanden. Setzt man alsdann \(\zeta=e^{\frac{2i\pi}l}\), so wird die ganze algebraische Zahl \[ \Omega = \nu + \zeta\cdot t(\nu) + \zeta^2\cdot t^2(\nu) + \cdots + \zeta^{l-1}\cdot t^{l-1}(\nu) \] als eine ,,Wurzelzahl” des Kreiskörpers \(k(\zeta)\) bezeichnet; ihre \(l^{\text{te}}\) Potenz gehört dem Körper \(k(\zeta)\) an. Diese Wurzelzahl wird zur Grundlage für wichtige Aufschlüsse über die Zerlegung von \(p\) in Primideale des Körpers \(k(\zeta)\). Von den Reciprocitätsgesetzen der höheren Potenzreste kommen hier zunächst die Eisenstein’schen zur Behandlung, welche ein bislang unentbehrliches Hülfsmittel beim Beweise der allgemeinen Kummer’schen Reciprocitätsgesetze abgeben. Die Eisenstein’schen Entdeckung bezieht sich auf zwei ganze Zahlen, von denen eine rational ist, während die andere einem soeben mit \(k(\zeta)\) bezeichneten Kreiskörper eines primzahligen \(l\) angehört.
Die quadratischen und die Kreiskörper sind auch von H. Weber im zweiten Bande seiner Algebra, sowie von Dedekind im letzten Supplement zu Dirichlet’s Vorlesungen zur Erläuterung der allgemeinen Theorie behandelt. Darüber hinaus ist Dedekind, durch seine Interessen für Modulfunctionen und complexe Multiplication geleitet, seit langer Zeit mit (demnächst zu veröffentlichenden) Untersuchungen über kubische Körper beschäftigt. Die Beziehung zur complexen Multiplication der elliptischen Functionen lässt Hilbert bei Seite (cf. § 90). Dagegen hat Hilbert, vielleicht in Anregung seiner Untersuchungen über Relativkörper sowie über Reciprocitätsgesetze, im fünften Teile seines Berichtes eine höchst wertvolle Theorie der von ihm so benannten ,,Kummer’schen Zahlkörper” entwickelt. Die Bezeichnung rechtfertigt sich dadurch, dass Kummer diese Zahlkörper bei seinen Untersuchungen über höhere Reciprocitätsgesetze zu Grunde gelegt hat.
Es sei \(l\) eine ungerade rationale Primzahl und \(k(\zeta)\) der durch \(\zeta = e^{\frac{2i\pi}l}\) festgelegte Körper. Ferner sei \(\mu\) eine ganze Zahl aus \(k(\zeta)\), deren \(l^{\text{te}}\) Wurzel \(k(\zeta)\) nicht angehöre. Es entspringt dann aus \(\root l\of{\mu}\) und \(\zeta\) ein Kummer’scher Körper \(k\left(\root l\of{\mu},\,\zeta\right)\) vom Grade \(l(l-1)\), der in Bezug auf den in ihm enthaltenen Unterkörper \(k(\zeta)\) den Grad \(l\) besitzt. Bei der Erforschung dieses Kummer’schen Körpers erweisen sich die bei den quadratischen und Kreiskörpern von Hilbert angewandten Begriffsbestimmungen und Symbole gleichfalls als brauchbar. Die Zerlegung der Primideale \(\mathfrak p\) von \(k(\zeta)\) im Kummer’schen Körper wird beherrscht von einem auch schon bei den Kreiskörpern benutzten Symbol \(\left\{\frac{\mu}{\mathfrak w}\right\}\). Ist \(\mathfrak w\) ein in der Relativdiscriminante von \(k\left(\root l\of{\mu},\,\zeta\right)\) nach \(k(\zeta)\) aufgehendes Primideal von \(k(\zeta)\), so soll \(\left\{\frac{\mu}{\mathfrak w}\right\}=0\) sein; für alle übrigen Primideale \(\mathfrak w\) von \(k(\zeta)\) ist das Symbol nach einer nicht ganz kurz wiederzugebenden Regel gleich einer bestimmten Potenz von \(\zeta\). Es gilt dann der Satz, dass \(\mathfrak p\) gleich der \(l^{\text{ten}}\) Potenz eines Primideals oder zerlegbar in \(l\) von einander verschiedene Primideale oder selbst ein Primideal ist, je nachdem jenes Symbol \(=0\) oder \(=1\) oder \(=\) einer von 1 verschiedenen Potenz von \(\zeta\) ist. Auch das bereits in der Theorie der quadratischen Körper benutzte Symbol \(\left\{\frac{\nu,\mu}{\mathfrak w}\right\}\) wird jetzt für zwei beliebige, von 0 verschiedene ganze Zahlen \(\nu\), \(\mu\) und ein beliebiges Primideal \(\mathfrak w\) von \(k(\zeta)\) verallgemeinert und bedeutet eine eindeutig bestimmte Potenz der Einheitswurzel \(\zeta\), welche nach einem in Kürze nicht wiederzugebenden Gesetze den Zahlen \(\nu\), \(\mu\) bezüglich des Ideals \(\mathfrak w\) zugeordnet ist.
Alle und nur die Zahlen \(\nu\) mit \(\left\{\frac{\nu,\mu}{\mathfrak w}\right\}=1\) sind ,,Normenreste des Kummer’schen Körpers nach dem Primideal \(\mathfrak w\)”, d. h. es giebt modulo jeder Potenz von \(\mathfrak w\) wenigstens je eine ganze Zahl im Kummer’schen Körper, deren Relativnorm mit \(\nu\) congruent ist. Das in Rede stehende Symbol liefert wieder, analog wie bei den quadratischen Körpern, die Möglichkeit, dem einzelnen Ideal des Kummer’schen Körpers ein Charakterensystem zuzuordnen, welches die Grundlage für die Einteilung der Idealklassen dieses Körpers in Geschlechter abgiebt. Andererseits spielt dieses Symbol eine grundlegende Rolle beim Beweise der allgemeinen Kummer’schen Reciprocitätsgesetze für die \(l^{\text{ten}}\) Potenzreste im Körper \(k(\zeta)\). Diese letzten Entwickelungen werden indes nur für die sogenannten ,,regulären” Kreiskörper und ,,regulären” Kummer’schen Körper durchgeführt. Der Kreiskörper \(k(\zeta)=k\left(e^{\frac{2i\pi}l}\right)\) heisst aber regulär, wenn die Anzahl \(h\) seiner Idealklassen nicht durch \(l\) teilbar ist, eine Annahme, die sehr wesentliche Vereinfachungen im Gefolge hat.
Jeder zu einem regulären Kreiskörper gehörende Körper \(k\left(\root l\of{\mu},\,\zeta\right)\) wird im Anschluss hieran als ein regulärer Kummer’scher Körper bezeichnet. Ein Hauptziel Hilbert’s bei diesen Untersuchungen war, den grossen Rechenapparat, welchen Kummer bei seinen Arbeiten über die höheren Reciprocitätsgesetze verwendet hatte, möglichst herabzumindern und an Stelle desselben mehr eine Entwickelung der Gedanken treten zu lassen. Um diesem Grundsatze Riemann’s noch weiter Folge zu leisten, giebt der Verf. in Kapitel 25 für die Theorie der regulären Kummer’schen Körper eine neue Begründung, welche zugleich der künftigen Erweiterung dieser Theorie dienlich sein soll. Als eine Anwendung giebt der Verf. die interessanten Untersuchungen Kummer’s über Fermat’s Behauptung, die Gleichung \(a^m+b^m+c^m=0\) sei für ganzzahlige \(m>1\) niemals in ganzen, von 0 verschiedenen Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) lösbar. Kummer beweist zunächst sogar die Unmöglichkeit der Gleichung \(\alpha^l+\beta^l+\gamma^l=0\) für drei von 0 verschiedene ganze Zahlen \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) des Körpers \(k\left(e^{\frac{2i\pi}l}\right)\), falls letzterer regulär ist. Die Zahl \(l\), welche hierbei wieder eine ungerade Primzahl sein soll, wird im Falle eines regulären Körpers \(k\left(e^{\frac{2i\pi}l}\right)\) selbst ,,regulär” genannt.
Es gilt das gleichfalls schon von Kummer aufgestellte Kriterium, dass die Zahl \(l\) dann und nur dann regulär ist, wenn sie in den Zählern der ersten \(\frac12(l-3)\) Bernoulli’schen Zahlen nicht aufgeht. Von den Primzahlen unter 100 sind nur die drei 37, 59, 67 irregulär; doch geht bei ihnen \(l\) nur in erster, nicht in höherer Potenz in der Klassenzahl \(h\) auf. Nun hat Kummer seinen Beweis auch noch auf die mit dieser letzteren Eigenschaft behafteten irregulären Primzahlen \(l\) ausgedehnt. Die Fermat’sche Behauptung ist demnach für alle primzahligen Exponenten \(<100\) und also überhaupt für alle positiven ganzzahligen \(m\leqq100\) bewiesen.

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11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11Rxx Algebraic number theory: global fields
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