×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sulle trasformazioni dello equazioni dinamiche. (Italian) JFM 27.0603.04
Die Einleitung dieser Abhandlung giebt zuerst eine Uebersicht über die Resultate, welche durch die bezüglichen Arbeiten voll Appell, Painlevé und Liouville in den letzten Jahren gewonnen sind. Man vergleiche betreffs derselben F. d. M. 24, 857, 1892, JFM 24.0857.01; JFM 24.0857.02; 25, 1384 ff., 1893/94, JFM 25.1384.03; JFM 25.1385.01; JFM 25.1386.01; JFM 25.1386.02; 26, 824 ff., 1895, JFM 26.0824.01; JFM 26.0825.01; JFM 26.0826.01. Trotz der beachtenswerten Sätze, welche in diesen Arbeiten ausgesprochen sind, ist das allgemeine Problem der Bestimmung aller Correspondirenden zu einem gegebenen Systeme \((A)\) noch nicht behandelt worden. R. Liouville hat die Differentialgleichungen dafür aufgestellt, ohne jedoch die wirkliche Integration in Angriff zu nehmen, was, nach einer Bemerkung des Verf., von seinen Formeln aus kein angenehmes Geschäft sein dürfte. Das Studium dieser Aufgabe bildet nun den Hauptzweck der vorliegenden Arbeit. Der Verf. beginnt mit der Definition correspondirender Systeme und zeigt zunächst, wie die Integration eines Systems derjenigen jedes correspondirenden Systems gleich zu achten ist. Darauf erörtert er die Beziehungen, welche zwischen den beiden Variabeln \(t\) und \(t_1\) bestehen müssen und findet auf directem Wege die schon bekannten Formen wieder, welche verschieden ausfallen, je nachdem Kräfte einwirken oder nicht. Die weitere Untersuchung wird dann auf den Fall beschränkt, in welchem keine Kräfte wirksam sind, oder auf das Problem der Erhaltung der Geodätischen: Gegeben ist eine Mannigfaltigkeit \(\varphi\), deren lineares Element \(ds= dt \sqrt {2\,T}\) sei; alle Mannigfaltigkeiten \(\varPhi\) zu bestimmen, die wenigstens in einem gewissen Gebiete eindeutig auf \(\varphi\) abbildbar sind, so dass jeder Geodätischen von \(\varPhi\) eine Geodätische von \(\varphi\) entspricht. Dieses Problem entspricht nämlich genau der Ueberführung eines Systems \((A)\) in das correspondirende System \((A_1)\), wenn die Kräfte Null sind, und findet seine vollständige Erledigung. Nach Festlegung der Gleichungen, welche die beiderseitigen Coefficienten verbinden, werden dieselben durch Einführung der covarianten Ableitungen voll Ricci transformirt, die sich in allen Untersuchungen bewähren, welche einen invarianten Charakter besitzen. Aus den so transformirten Differentialgleichungen wird sofort die Existenz eines primären quadratischen Integrales erschlossen. Hiernach werden gewisse Rechnungsmethoden von Ricci aus der Theorie der krummen Oberflächen in Räumen von beliebig vielen Dimensionen dazu benutzt, um den Gleichungen des Problems ein viel einfacheres Aussehen zu verschaffen, unter welchem die geometrische Deutung von selbst sich darbietet. Dieselbe enthüllt in den Paaren correspondirenden Mannigfaltigkeiten (d. h. deren Geodätische zusammenfallen) die Existenz gewisser besonderer Oberflächen, die, als Coordinatenflächen gewählt, den Quadraten der Linienelemente besondere Formen verschaffen. Hierdurch wird die Zurückführung eines beliebigen Paares corespondirender System auf \(n\) völlig bestimmte Typen \((t_1), (t_2), \dots, (t_n)\) ermöglicht, wobei jeder Typus durch die Ueberführbarkeit der \(ds\) und \(ds_1\) in gewisse kanonische Formen gekennzeichnet ist. Wenn nun ein System \((A)\) ohne Kräfte gegeben ist, oder, was dasselbe ist, ein \(ds\) und ein Typus \((t_m)\) fixirt ist, so kann man alle correspondirenden \(ds_1\) bilden, falls dieselben existiren (d. h. solche, die zu correspondirenden Systemen dieses Typus gehören). Ihr allgemeiner Ausdruck hängt von zwei willkürlichen Constanten bei \((t_1), (t_2), \dots, (t_{n-1})\), von einer bei \((t_n)\) ab. Von zwei correspondirenden Systemen des Typus \((t_m)\) gestattet jedes \(n-m+1\) verschiedene quadratische primäre Integrale; hierdurch wird ein Liouville’scher Satz vervollständigt. – In einer Fortsetzung werden Resultate für Systeme in Aussicht gestellt, die von Kräften angegriffen werden.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI