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Détermination des invariants ponctuels de l’équation différentielle ordinaire du second ordre \(y'' = \omega (x,y,y')\). (French) JFM 27.0254.01
Leipzig. 87 S. gr. \(8^\circ.\) (1896).
Preisschriften gekrönt und herausgegeben von der Fürstl. Jablonowski’schen Gesellschaft zu Leipzig. Nr. 32 (13 der math.-naturw. Section). In ihrem Preisausschreiben vom März 1890 hatte die Fürstlich Jablonowski’sche Gesellschaft gewünscht, dass die Invariantenbestimmung einer ausgedehnten Kategorie zunächst von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf Grund der Lie’schen Methoden in Angriff genommen werde. Die gegenwärtige, im März 1896 gekrönte Preisschrift ist eine auf Wunsch der Gesellschaft vervollständigte Redaction der Bewerbungsschrift, die der Verf. im November 1893 eingereicht hatte. Sie enthält die vollständige Bestimmung aller Differentialinvarianten, welche die Differentialgleichung \(y'' = \omega (x,y,y')\) gegenüber der unendlichen Gruppe aller Punkttransformationen der Ebene besitzt. In der Einleitung erfüllt der Verf. die in F. d. M. 25, 641, 1893/94 (siehe JFM 25.0641.01) ausgesprochene Erwartung. Die Arbeit selbst zerfällt in acht Kapitel. Die vier ersten enthalten Entwickelungen, die den Zweck haben, die allgemeine Lie’sche Methode zur Bestimmung von Differentialinvarianten so zu specialisiren, dass die erforderlichen Rechnungen in dem hier behandelten Falle praktisch durchführbar werden. Es ist nicht möglich, diese Entwickelungen, die dem Verf. durchaus eigentümlich und von hohem praktischen Werte sind, in der hier gebotenen Kürze wiederzugeben. Das Ergebnis ist, dass die Gleichung: \(y'' = \omega (x,y,y')\) zwei relative Invarianten vierter Ordnung, drei von fünfter Ordnung und für \(N \geqq 6 \frac{1}{2} (NN-N-8)\) von \(N ^{\text{ter}}\) Ordnung in den Differentialquotienten von \(\omega\) nach \(x,y,y'\) besitzt. Diese Invarianten werden nur in dem schon mehrfach untersuchten Falle illusorisch, wenn \(\omega\) in Bezug auf \(y'\) eine ganze Function dritten Grades ist. In Kapitel 5 wird gezeigt, dass man, abgesehen von diesem Ausnahmefalle, mit Hülfe dreier Differentialparameter alle relativen Invarianten der Gleichung: \(y''=\omega\) aus höchstens drei bestimmten ableiten kann. In Kapitel 6 wird der erwähnte Ausnahmefall behandelt und gezeigt, dass die Gleichung \(y''=\omega\) durch Punkttransformation dann und nur dann auf die Form \(y''=0\) gebracht werden kann, wenn ausserdem noch eine gewisse relative Invariante \(H\) verschwindet. Die Gleichungen von der Form \(y'' = \alpha (x,y) +\beta(x,y) y' +\gamma(x,y) y'^2 +\delta(x,y) y'^3,\) für die \(H=0\) ist, sind die einzigen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die gegenüber der Gruppe aller Punkttransformationen der Ebene keine Invariante haben. Das Kapitel 7 entwickelt als Anwendung die Kriterien, an denen man erkennen kann, wann zwei Differentialgleichungen zweiter Ordnung von allgemeiner Beschaffenheit durch Punkttransformation in einander überführbar sind, d. h. es werden gewisse Invarianten angegeben, die man bilden und als Functionen von \(x,y,y'\) darstellen muss; sind diese Invarianten für beide Differentialgleichungen durch dieselbe Relationen verknüpft, so ist die Ueberführung möglich, sonst nicht. In Kapitel 8 endlich werden die Kennzeichen dafür entwickelt, dass eine Differentialgleichung zweiter Ordnung gerade 0, 1, 2 oder 3 unabhängige infinitesimale Punkttransformationen gestattet. Den Beschluss bildet eine Formeltafel, auf der man die Werte der drei Differentialparameter und der Invarianten vierter bis sechster Ordnung zusammengestellt findet. Der Verf. hat sich durch seine Arbeit ein nicht zu unterschätzendes Verdienst erworben; denn es war von vorn herein gar nicht abzusehen, wie die praktischen Schwierigkeiten der von ihm behandelten Aufgabe überwunden werden sollten.