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Hydrodynamics. (English) JFM 26.0868.02
Cambridge. At the University Press. XVIII + 604 S. \(8^\circ\). [Nature LIII. 49-50, angezeigt von A. G. Greenhill.] (1895).
Das vorliegende Werk kann als eine zweite Auflage des Treatise on the mathematical theory of the motion of fluids aus dem Jahre 1879 betrachtet werden. Wer das ältere Werk kennt, wird das neue mit günstiger Erwartung in die Hand nehmen, die, wie Referent gleich hervorheben will, sicher erfüllt werden wird.
Der Verfasser stellt sich die Aufgabe, die Principien und Theoreme der Hydrodynamik sowie die Methoden, vermittelst deren man zu den letzteren gelangt, dem Leser vorzuführen. Auch die wichtigsten Anwendungen der Disciplin kommen zur Erörterung. Dabei hat sich der Verfasser wesentlich von physikalischen Gesichtspunkten leiten lassen, während lange mathematische Untersuchungen, deren Resultate physikalisch nicht interpretirt werden können, bei Seite gelassen sind. Im ersten Capitel werden die verschiedenen Formen der hydrodynamischen Differentialgleichungen für eine perfecte Flüssigkeit aufgestellt. Nachdem zunächst die Euler’schen Gleichungen abgeleitet sind, wird auch gleich gezeigt, welcher Zusammenhang zwischen einer impulsiven Aenderung des Drucks und der Geschwindigkeit besteht. Dann werden die Differentialgleichungen in der nach Lagrange benannten Form aufgestellt, und schliesslich kommen die Grundgleichungen in der Form zur Sprache, welche ihnen Weber gegeben hat.
Von Weber’s Gleichungen wird nun gleich zu Anfang des zweiten Capitels, welches Lösungen der hydrodynamischen Gleichungen für einzelne besondere Fälle giebt, Gebrauch gemacht, um die Permanenz des einmal vorhandenen rotationslosen Zustandes zu zeigen. Zunächst wird Bernoulli’s Gleichung für die permanente Bewegung (steady motion) aufgestellt, aus welcher sich dann weiter Torricelli’s Formel für die Ausflussgeschwindigkeit ergiebt. In einer Note wird gezeigt, dass die Contractio venae zwischen \(\frac12\) und 1 liegt. Dass man für diese Grösse auch bei kreisförmigen Oeffnungen engere Grenzen finden kann, bleibt unerwähnt. Dann kommen die gewöhnlich behandelten Beispiele der Rotation um eine Axe zur Sprache.
In dem Capitel III, welches den Titel irrotational motion führt, wird zunächst die Zerlegung einer Flüssigkeitsbewegung in eine fortschreitende Bewegung, eine Deformation und eine Rotation gezeigt. Dann werden die Begriffe “Fluss” (flow) und Circulation eingeführt, und es wird die Unabhängigkeit des letzteren von der Zeit gezeigt. Weiter kommt Green’s Theorem zur Sprache mit der von Lord Kelvin gegebenen wichtigen Ausdehnung auf cyklische Functionen, wie sie in mehrfach zusammenhängenden Räumen möglich sind. Das führt auf eine Darstellung des Potentials durch Doppelintegrale, welche als eine Reduction der Bewegung auf einfache und doppelte, über die Oberfläche verteilte Quellen angesehen werden kann. Dann gelangt im Capitel IV die rotationslose Bewegung der Flüssigkeit in zwei Dimensionen und ihr Zusammenhang mit der conformen Abbildung zur Erörterung. Seinen Abschluss findet dieses Capitel in der Behandlung discontinuirlicher Flüssigkeitsbewegung. Der Ausfluss aus einem Gefäss, in welches eine Mündung hinein ragt, Lord Rayleigh’s Bestimmung der Contractio venae, Kirchhoff’s Untersuchung über den Stoss eines unendlich breiten Stromes gegen eine Platte, Bobyleff’s Untersuchung über den Keil in einem Strome sind die Beispiele.
Im Capitel V wird die Potentialgleichung für den Fall kugel- oder ellipsoidförmiger Begrenzung behandelt, und damit die Bewegung einer Kugel resp. eines Ellipsoids in einer Flüssigkeit.
Capitel VI erörtert die Bewegung fester Körper in Flüssigkeiten. Nachdem zunächst derjenige Teil erledigt ist, welcher der Potentialtheorie angehört, kommt der Verfasser zur Aufstellung der Differentialgleichungen für die Bewegung eines Körpers in der Flüssigkeit, und zwar sowohl für den Fall, dass der von der Flüssigkeit erfüllte Raum einfach zusammenhängend ist, als auch für den Fall eines mehrfach zusammenhängenden Raumes. Referent muss gestehen, dass dieses Capitel einen der wenigen Punkte bildet, in welchem er nicht mit dem Verfasser übereinstimmt. Nach meiner Meinung wird gar nicht genug hervorgehoben, an welche Bedingungen es geknüpft ist, dass bei einem einfach zusammenhängenden Raume die Impulscomponenten gleich den entsprechenden Ableitungen der lebendigen Kraft sind. Der Beweis, welcher dafür gegeben wird, kann mit derselben Berechtigung auch auf den Fall mehrfach zusammenhängender Räume angewandt werden und führt dann bekanntlich zu einem unrichtigen Ergebnis. Gerade dieser Umstand wird namentlich den Anfängern, für welche das Buch ja doch in erster Linie bestimmt ist, Schwierigkeiten machen, die sich bei anderer Darstellung hätten vermeiden lassen. Aber noch eine Bemerkung kann ich nicht unterdrücken. Gegenüber der sehr vollständig citirten englischen Litteratur ist die Litteratur anderer Sprachen etwas zurückgesetzt. So bleibt z. B. die schöne Abhandlung von Hoppe über die Bewegung von Rotationskörpern unerwähnt. Bei der Aufzählung der Fälle, in welchen die lebendige Kraft eine Vereinfachung erfährt, hätte vielleicht die Abhandlung des Referenten Erwähnung finden können, in welcher die Bewegung eines nicht homogenen Körpers mit kugelförmiger Begrenzung behandelt wird. Die Frage nach der Integrabilität wird bei Seite geschoben, ohne dass auf die berühmte Abhandlung von Clebsch hingewiesen wird. Dass die Untersuchungen von H. Weber, Fennel und dem Referenten über den von Clebsch entdeckten integrablen Fall nicht erwähnt werden, versteht sich hiernach fast von selbst Dem Referenten würde ferner ein Hinweis auf die schöne Untersuchung von Halphen in seinem Traité des fonctions elliptiques sehr wünschenswert erscheinen.
In dem nun folgenden Capitel wird die Wirbelbewegung behandelt; hier beschränkt sich der Verfasser nach meiner Meinung mit gutem Grund auf den Stand der Theorie, wie ihn Helmholtz und Lord Kelvin verlassen haben, und lässt neuere Untersuchungen bei Seite. In den Capiteln VIII bis X wird die Wellenbewegung mit grosser Ausführlichkeit und Vollständigkeit behandelt. In dem vorletzten Capitel werden die hydrodynamischen Untersuchungen, bei denen die Viscosität eine Rolle spielt, vorgeführt. Den Schluss bildet die Bestimmung der Gleichgewichtsfigur eines rotirenden flüssigen Ellipsoids, der Referent vielleicht eine andere Stelle angewiesen hätte.
Trotz der Einwendungen empfiehlt der Referent das Werk allen denjenigen, welche in einiger Vollständigkeit den Stand der hydrodynamischen Forschung kennen zu lernen wünschen.