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Lezioni di geometria differenziale. (Italian) JFM 25.1165.01
Pisa. Tip. Spoerri. VIII + 541 S. (1894).
Dieses Werk ist aus den autographirten Vorlesungen entstanden, von denen wir schon in F. d. M. XVIII. 1886. 648, JFM 18.0648.01, mit so grossem Lobe gesprochen haben. Die Verbesserungen und Umgestaltungen, welche die neue Auflage dieser “Lezioni” erfahren hat, sind so gross und bemerkenswert, dass wir unser früheres Lob vervielfachen müssen. Wenn auch in der Zeit zwischen der Veröffentlichung beider Auflagen drei Bände des grossen Darboux’schen Werkes “Leçons sur la théorie générale des surfaces” erschienen sind, so behält doch die Bianchi’sche Arbeit ihren Platz in der mathematischen Litteratur, weil sie eine vortreffliche Einleitung in das Studium der Differentialgeometrie darstellt Sie ist mit Eleganz, mit Strenge und mit jener Einheit der Methode verfasst, welche besonders in Deutschland so hoch geschätzt wird; kein Wunder daher, dass eine deutsche Uebersetzung sich schon unter der Presse befindet.
Das erste Capitel des zum Bericht stehenden Buches ist als Einleitung anzusehen, in so fern in demselben die Haupteigenschaften der Curven doppelter Krümmung auseinandergesetzt sind. Das zweite, den quadratischen Differentialformen gewidmete, sammelt das später zu benutzende analytische Material, indem der Verf. die Differentialgeometrie als äquivalent der Untersuchung einer oder zweier solcher Formen betrachtet. Wie nützlich die gelehrten Algorithmen sind, ersieht man aus den Capiteln III-IX, welche der Reihe nach folgende Gegenstände behandeln: Krummlinige Coordinaten auf den Oberflächen. Conforme Abbildung. Grundformeln der Flächentheorie. Gauss sphärische Abbildung einer Fläche und Tangentialcoordinaten. Geodätische Krümmung und geodätische Linien. Auf einander abwickelbare Flächen. Verbiegung von Regelflächen. Evolutenflächen und Flächen \(W\); deren Hauptkrümmungsradien durch eine Relation verbunden sind. Die nächsten Capitel behandeln zwei Gegenstände, welche eng unter einander verbunden sind, nämlich geradlinige Strahlensysteme und unendlich kleine Deformationen einer Fläche. In denselben werden auch die Correspondenz durch Orthogonalität der Elemente und jene speciellen Congruenzen erledigt, welche die Eigenschaft besitzen, dass auf den zwei Schalen der Brennflächen die asymptotischen Linien sich entsprechen. Das XIII. Capitel betrachtet die Theorie der “cyklischen Systeme” von Ribaucour, d. h. die Systeme von \(\infty^2\) Kreisen, die einer Reihe orthogonaler Flächen angehören. Die vier folgenden dagegen beschäftigen sich mit zwei merkwürdigen besonderen Flächenklassen, den Minimalflächen und den Flächen constanter Krümmung. Das wohlbekannte Plateau’sche Problem und die Hauptsätze der pseudosphärischen Geometrie in denselben mögen eine besondere Erwähnung finden.
Nach der Beendigung der Geometrie auf krummen Flächen wird im letzten Abschnitt des Werkes die räumliche Differentialgeometrie gelehrt; das XVIII. Capitel insbesondere enthält allgemeine Betrachtungen aber dreifach orthogonale. Flächensysteme, das XIX. einige Untersuchungen über specielle dreifache Systeme (z. B. Ribaucour’s cyklische Systeme, elliptische Coordinaten und dergl.), endlich das letzte einen Auszug aus den Abhandlungen, in denen Herr Bianchi diejenigen dreifach orthogonalen Flächensysteme erforscht hat, welche eine Reihe von Flächen constanter Krümmung enthalten.
Das Gesagte dürfte genügen, um eine Vorstellung von der Fülle der Resultate und des vom Verf. bewiesenen Geschickes in der Wahl der behandelten Gegenstände zu geben.

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