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Remarks to the solution of quadratic congruences. (Bemerkung über die Auflösung quadratischer Congruenzen.) (German) JFM 23.0194.02
Die Auflösung der Congruenz \(x^2 \equiv R\) (mod.\(p\)) lässt sich, wenn \(p\) von der Form \(4n+3\) ist, bekanntlich auf das Euler’sche Kriterium \[ R^{\frac 1 2 (p-1)} \equiv 1 \quad (\text{mod}.p) \] basiren; man findet durch Wurzelziehung \(x \equiv \pm R^{n+1}\). Der Verfasser zeigt, dass man zur Anwendung der Methode für den Fall \(p=4n+1\) nur einen Nichtrest zu kennen braucht, um durch Multiplication mit \[ N^{\frac 1 2 (p-1)} \equiv -1 (\text{mod}.p) \] eine folgende Wurzelziehung zu ermöglichen, wenn die vorhergehende \(-1\) als Resultat ergeben hatte. War \(p=2^s.\alpha+1\) (\(\alpha\) ungerade), so führen \(s\) Wurzelziehungen aus der Congruenz \(R^{p-1} \equiv 1\) (mod.\(p\)) zur Bestimmung des \(x\). – Die allgemeine Auflösung der Congruenz \[ x_1^2 \equiv R (\text{mod}.p^\lambda) \] erhält man hieraus in der Form: \[ x_1 = x^{p^{\lambda-1}}.R^{\frac 1 2 (p^\lambda-2p^{\lambda-1}+1)}(\text{mod}.p^\lambda). \]

MSC:
11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
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Full Text: EuDML